Методическое пособие по теоретической части алгебры 8 класса

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ 

1. Если к обеим частям  неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство.

Если a>b, c любое число, то a+c>b+c.

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство.

      Если a>b и c>0, то a·c>b·c.

1. Если оба части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное  число, и поменять знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если a>b и c<0, то a·c<b·c.

1. Верные одноименные (одинаковых знаков) неравенства можно почленно складывать.                                                                                                                       Если a>b и c>d, то a+c > b+d.
2. Верные одноименные неравенства, левые и правые части которых положительные числа, можно почленно перемножать.                                        Если положительные числа a, b, c и d таковы, что a>b и c>d, то a·c > b·d.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Функцией называется такую зависимость переменной y от переменной x при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

y= f(x)

Переменную X называют независимой переменной или аргументом. Переменной Y называется зависимой переменной или функцией от переменной Х.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента x, а ординаты - соответствующим значениям функции f(x).

1. Функцию вида y=kx+b называют линейной, где х – независимая переменная, k и b некоторые числа.                                                                                           Графиком линейной функция является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

 Коэффициент k в уравнении y=kx+b называют угловым коэффициентом этой прямой.

1. График функции у=х² называют параболой.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax²+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причём a≠0.

Коэффициенты a, b, c различают по названиям: a — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при x; c — свободный член.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1. Если уравнение имеет вид ax²=0, то оно имеет один корень: x=0.

2. Если уравнение имеет вид ax²+bx=0, то используется метод разложения на множители: x(ax+b)=0; значит, либо x=0, либо ax+b=0. В итоге получаем два корня: x₁=0  и x₂=−b/a.

3. Если уравнение имеет вид ax²+c=0, то его преобразуют к виду ax²=−c и далее x²=−c/a.

В случае, когда –c/a — отрицательное число, уравнение x²=−c/a не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ax²+c=0).

В случае, когда –c/a — положительное число, имеет два корня: x₁=-ca , x₂=−-ca. В этом случае допускается более короткая запись: x_{1, 2} = ±-ca.

Корнем квадратного уравнения ax²+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трёхчлен ax²+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трёхчлена.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид:

ax²+bx+c=0

1. Выписать, чему равны в числах коэффициенты:

a=…

b=…

c=…

1. Вычислить дискриминант по формуле:

D=b²−4ac

1. Если D>0, будет два различных корня, которые находятся по формуле: ±

x_1,2=-b±D2a

1. Если D=0, будет один корень, который находится по формуле:

x=−-b2a

1. Если D<0, решений нет: x∈∅

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной х

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки

1. Выразить у через х их одного уравнения системы (х через у);
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы;
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить каждый из найденных корней уравнения поочередно вместо х и найти соответствующее значения переменной у.
5. Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Алгоритм решения систем уравнений способом сложения.

1. Умножить обе части одного или обеих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнений стали противоположными числами.
2. Сложить почленно полученные уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение другой переменной.
5. Записать ответ.

Алгоритм решения дробно­-рациональных уравнений

1 способ:

• Перенести все члены уравнения в одну часть.
• Привести к общему знаменателю и сложить полученные дроби.
• Приравнять числитель к нулю и решить полученное уравнение.
• Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

2 способ:

• Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение.
• Умножить обе части уравнения на найденный общий знаменатель.
• Решить полученное целое уравнение.
• Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Алгоритм решения систем уравнений графическим способом

1. Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графическим методом, нужно:
2. Выразить переменную у через переменную х.
3. Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему;
4. Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть);
5. Координаты этих точек и будут решения^ системы.