Методическая разработка по теме
«Линейная функция. Линейные уравнения и неравенства с параметрами».
Линейная функция и линейное уравнение – одна из основных тем школьного курса математики. Введение понятий «параметр, решение задача с параметрами» в этой теме следует начинать с пропедевтики: повторения понятий постоянной и переменной величин и выделении из множества переменных параметров.
В курсе алгебры учащиеся изучают понятия, оперирующие с двумя видами величин – постоянными и переменными. Переменные величины, в свою очередь, можно условно разделить на приоритетные – аргументы, искомые и остальные – параметры. Данное разделение можно представить в виде следующей схемы:
Постоянные: 1,2, 3,… | | Переменные: |
Приоритетные переменные - аргументы | | Параметры |
Определение. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.
Таким образом, имеем:
Все входящие в данное уравнение или неравенство переменные равноправны и каждая из них может быть объявлена неизвестной (аргументом).
Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым присваиваются по умолчанию некоторые числовые значения, входящие в область определения данного аналитического выражения.
Объявление тех или иных переменных аргументами или параметрами определяется условиями поставленной задачи или методами, пригодными для ее анализа и решения.
Р еализация представленного разделения может отрабатываться в системе упражнений, подобных следующему:
Упражнение 1.
Укажите постоянные и переменные величины, входящие в уравнения:
1) 6)
7)
8)
9)
10)
Упражнение 2.
Даны уравнения, линейные относительно переменной . Укажите уравнения, содержащие и не содержащие параметры.
6)
7)
8)
9)
10)
Пример 1.
1) Найдите все значения параметра , при которых уравнение является линейным.
2) Будет ли это уравнение линейным относительно переменной ?
Решение. 1) Выбрав переменную в качестве параметра, мы тем самым оставили переменную в качестве неизвестной. Уравнение будет линейным относительно переменной , если коэффициент при второй степени переменной будет равен 0. Следовательно, параметр должен быть равен 0. Ответ: 0.
Так как наибольшая степень переменной равна 1, то уравнение является линейным относительно переменной при всех действительных значениях параметра .
Определение. Значение параметра называется допустимым, если для него существует хотя бы одно значение переменной , при одновременной подстановке которых в уравнение левая часть уравнения определена, т.е. имеет смысл.
Рассмотрим достаточно подробно решение следующих задач:
Задача 1. Решите уравнение при всех значениях параметра .
Решение. Дано простейшее уравнение относительно переменной с параметром . Решить его – это значит:
Указать, при каких допустимых значениях параметра уравнение имеет решения, и найти вид этих решений в зависимости от значений параметра .
Указать, при каких допустимых значениях параметра уравнение не имеет решений.
Согласно общей схеме анализа решения линейного уравнения, получим:
Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра.
Если , то уравнение имеет единственное решение .
Если , то равенство невозможно ни при каких значениях переменной , следовательно, уравнение решений не имеет.
Ответ: При решением уравнения является число . При уравнение решений не имеет.
Задача 2. Решите уравнение
Решение. ; ; .
Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение
Если , то уравнение обращается в равенство , которому удовлетворяет любое действительное значение переменной .
Ответ: Если , то . Если , то решением является любое действительное число.
Задача 3. При каком значении параметра уравнение не имеет решения?
Решение. Так как переменная определена как параметр, то имеем уравнение относительно переменной : . Так как правая часть уравнения отлична от нуля, то уравнение не будет иметь решений, если коэффициент при будет равен нулю. Это возможно лишь при .
Ответ: .
Задача 4. При каком значении параметра уравнение обращается в тождество?
Решение. Запишем уравнение в виде . Так как правая часть уравнения равна 0, то уравнение обратится в тождество, если коэффициент при неизвестной также будет равен 0. А это возможно, если .
Ответ: .
Задача 5. Решите уравнение .
Решение. ; .
Так как правая часть уравнения отлична от нуля, то уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Если , то - единственное решение.
Если , то уравнение решений не имеет.
Ответ: Если , . Если , уравнение решений не имеет.
Задача 6. Найдите значение переменной , которое не может быть решением уравнения ни при одном значении параметра .
Решение. ; . Данное уравнение можно рассматривать как линейное уравнение относительно переменной и параметром . Уравнение не будет иметь решение, если , т.е. при .
Ответ: 0.
Упражнение 3. Решите уравнения.
3.
4.
Ответы:
Если , то ; если , уравнение решений не имеет.
Если , то ; если , - любое действительное число.
Если , то ; если , - любое действительное число.
Если , то ; если , уравнение решений не имеет.
Упражнение 4. Решите уравнения.
Ответы: 1) Если , то . Если , - любое действительное число. Если , уравнение решений не имеет.
2) Если , то . Если , то - любое действительное число. Если , то уравнение решений не имеет.
3) При уравнение не определено. Если , то . Если , то - любое действительное число. Если , то уравнение решений не имеет.
4) Если , - любое действительное число, то .
Если , , то -любое действительное число.
Если , , то уравнение решений не имеет.
Задача 7 Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет бесконечно много решений.
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
;
; .
Если , то при всех таких значениях параметра уравнение будет иметь единственное решение, и поэтому такие значения параметра нас не интересуют.
Пусть ; ; .
Значение параметра будет удовлетворять условию задачи, если при его подстановке обе части уравнения будут одновременно равны нулю.
Если , то
Если , то
Следовательно, искомое значение параметра .
Ответ: .
Задача 8. Решите уравнение при всех значениях параметров и , таких, что .
Решение. По условию, , поэтому
; ; .
Ответ: для любых значений параметров решением уравнения является число, равное 1.
Задача 9. Найдите все значения параметра , при каждом из которых решение уравнения больше 2.
Решение. ; .
Если , то уравнение решений не имеет, при всех других значениях параметра уравнение будет иметь корень, задаваемых формулой . Таким образом, искомые значения параметра будут являться решением неравенства
; ; .
Ответ: .
Упражнение 5. Найдите значение переменной , которое не может быть решением уравнения ни при одном значении параметра.
3.
4.
Ответы: 1) 0; 2) -4; 3) 0; 4) 1.
Упражнение 6.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.
Ответ: 2.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.
Ответ: -1.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.
Ответ: 0.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение обращается в тождество.
Ответ: 1.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.
Ответ: -1.
Решение линейных неравенств.
Задача 10 . Решите неравенство .
Решение. ; ; .
Если , то неравенство примет вид и его решением будет являться любое значение переменной .
Если , то ,
Если , то , .
Ответ: При решением является любое значение . При . При .
Задача 11. Решите неравенство .
Решение. . Умножим обе части неравенства на 6:
; ;
Если , то неравенство приобретает вид ; , из чего следует, что решением не может являться ни одно значение переменной . Таким образом, при неравенство решений не имеет.
Если , то , .
Если , то , .
Ответ: При неравенство не имеет решений.. При . При .
Задача 12. Решите неравенство .
Решение. Заметим, что в данном случае параметр может принимать только значения, отличные от нуля. При данное неравенство не имеет смысла.
; ; ; ; ; .
Типичная ошибка в данном случае – умножение на обеих частей неравенства, так как параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Вспомним определение параметра как «управляющей переменной», что особенно наглядно проявляется при решении неравенств.
Если , то неравенство имеет вид , и его решением не может служить ни одно значение переменной .
Если , т.е. когда , получим, что .
Если , т.е. , то .
Ответ: При неравенство решений не имеет. При .
При или
Задача 13. Решите неравенство .
Решение. Из условия следует, что параметр может принимать любые значения, кроме . Преобразуем неравенство следующим образом:
; ; ; ; .
Умножение обеих частей неравенства на приведет к ошибке в решении.
Если , то неравенство имеет вид и обращается в верное числовое неравенство при любом значении переменной .
Если , т.е. если , неравенство .
Если или , получим, что и .
Ответ: При решением неравенства является любое значение переменной . При . При .
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Определение. Системой двух линейных уравнений с двумя переменными называется система вида , где , , , , - действительные числа, причем и .
Определение. Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, обращающая в верное числовое равенство каждое уравнение системы.
Пусть пара чисел - решение данной системы. Подставляя эти значения в уравнения системы, получим верные числовые равенства: . Числовое равенство не изменится, если обе его части одновременно умножить на любое, отличное от нуля число или к обеим частям прибавить равные числа
Исключая из первого уравнения, мы приводим систему равенств к виду , из которого следует, что пара чисел является решением системы . Исключая , получим , откуда следует, что та же пара чисел - решение системы . Очевидно, что если - решение одной из получившихся систем, то эта же пара чисел - решение исходной системы. Заметим, что коэффициент при остающейся переменной одинаков. Таким образом, мы приходим к методу Крамера или методу определителей решения систем линейных уравнений.
Определение. Определителем системы линейных уравнений называется число, равное и записываемое в виде .
При этом правые части уравнений, содержащих одну оставшуюся переменную, также можно записать в виде определителей:
; .
Метод Крамера является наиболее удобным для исследования систем линейных уравнений.
Если , то система имеет единственное решение .
Эти формулы носят название формул Крамера.
Геометрический смысл единственности решения состоит в том, что прямые, задаваемые уравнениями системы, пересекаются в одной точке.
. Если при этом , то система решений не имеет. Геометрически это означает, что прямые, задаваемые уравнениями системы, параллельны.
Если ,то система имеет бесконечное множество решений вида
.
В этом случае оба уравнения системы задают на плоскости одну прямую, координаты точек которой и являются решениями данной системы.
Если коэффициенты системы , , , не равны нулю, то условие .
Если при этом и ,то ;
.
Задача 14. Решите систему уравнений .
Решение.
; ; .
. Ответ:
Задача 15. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.
Решение. Найдем определитель системы. .
Искомые значения параметра задаются неравенством .
.
Ответ : При система имеет единственное решение.
Задача 16. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений не имеет решений.
Решение. Найдем определители системы: ; ; .
Система не имеет решения в том случае, если определитель системы равен нулю, а хотя бы один из частных определителей системы отличен от нуля.
Искомые значения параметра задаются системой
Корни уравнения . Подставим полученные значения в систему ; . Таким образом, при система не имеет решений.
Ответ: -4.
Задача 17. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет бесконечно много решений.
Решение. ; ; .
Так как система должна иметь бесконечное множество решений, то искомые значения параметров задаются системой
Ответ: 3.
Упражнение 7. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений не имеет решений.
1) 2)
3) 4)
Ответы: 1) -4; 2) ; 3) -1; 4) -2
Упражнение 8. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
1) 2)
3) 4)
Ответы: 1) 2; 2) 5; 3) -3; 4) 3.
Упражнение 9. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.
1) 2)
3) 4)
Ответы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
14