Метод координат

\

ось абсцисс

ось аппликат

z

Начало координат -

точка O

Оси координат -

Ox, Oy, Oz

y

ось ординат

О

Координатные плоскости

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Oxy, Oyz, Ozx

Система координат

x

Oxyz

2

Положительная полуось

Положительная полуось

Отрицательная полуось

Отрицательная полуось

z

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью ,

а другой луч – отрицательной полуосью

О

Отрицательная полуось

Положительная полуось

y

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x

3

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки

z

M 3

M

y

M (x; y; z)

О

M 2

x = OM 1

абсцисса

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M 1

y = OM 2

ордината

z = OM 3

x

аппликата

4

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I

O (0; 0; 0)

N (5; 0; 0)

D

F (0; -2; 0)

D (0; 0; 4)

F

M

О

R (0; 0; -0,5)

I I I I I I I I I

y

R

M (0; 3; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

S ( x ; 0; 0)

Ox

N

P (0; y ; 0)

Oy

x

T (0; 0; z )

Oz

5

z

I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

N ( 5 ; 4 ; 0)

C (2;-1; 0)

R (-3; -3; 0)

A

F (0; 4; 3)

F

A (0; -3; 4)

R

M (7; 0; 2)

О

y

I I I I I I I I I

D (6; 0;-3)

M

C

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

S ( x ; y ; 0)

Oxy

N

Oyz

P (0; y ; z )

x

Oxz

T ( x ; 0; z )

D

6

Точка лежит

На оси

В координатной плоскости

Ox ( x ; 0; 0)

Oxy ( x ; y ; 0)

Oyz (0; y ; z )

Oy (0; y ; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Oxz ( x ; 0; z )

Oz (0; 0; z )

7

z

I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I

I I

I I I

I I I I I I I I

I I I I I

A (4;-2,5; 7)

A

S

R

S (5; 4; 8)

N

D (5; 4;-3)

F (-3; 3;-7)

N (0; 0; 4)

О

I I I I I I I I I

y

R (-2;-3; 4)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M (7; 0;-1)

C

x

I I I

C (7; 4;-1)

M

D

F

8

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

k

j

i

, и – координатные векторы

i

=1;

Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

j

=1;

F

k

разложение вектора по координатным векторам

=1

p

k

p = x i + y j + z k

O

y

I I I I I I I I

i

j

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

p{ x; y; z} координаты вектора

F ( x; y; z )

x

9

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор.

S

p

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора.

k

S ( 4; 5 ; 8)

O

I I I I I I I I

y

i

j

p {4; 5 ; 8 }

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

p =4 i + 5 j + 8 k

x

10

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I

I I I I I

I I

OT {4; 5 ; 0}

R

OD {-1; 3; 3}

D

OF {-1; 3;-6}

OM {5; 0; 0}

k

OE {6; 0; 3}

N

O

y

I I I I I I I I

i

j

ON {0; -3; 0}

E

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

OR {-2; -3; 4}

T

M

x

F

11

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

0 {0;0;0}

O ( 0; 0; 0 )

0 =0 i + 0 j + 0 k

i {1;0;0}

j {0;1;0}

e

k

r

O

I I I I I I I I

y

i

j

k {0;0;1}

f

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

e = – i

e {-1;0;0}

r = – j

r {0;-1;0}

x

f {0;0;-1}

f = – k

12

AB a

AB

A

A

a

B

B

Перпендикуляр на прямую

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Перпендикуляр на плоскость

13

x

Oxz

Найти проекции точки М на координатные плоскости.

Oyz

z

M ( x ; y ; z )

M 2

z

M

M 3

y

y

О

Oxy

M M 1 ( x; y; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Oyz

M 1

M M 2 ( 0 ; y; z )

Oxy

Oxz

x

M M 3 ( x; 0 ; z )

14

x

Oxz

Найти проекции точки М на оси координат.

Oyz

z

M 3

M ( x ; y ; z )

z

M

y

О

y

M 2

Ox

M M 1 ( x; 0 ; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M 1

Oy

M M 2 ( 0 ; y; 0 )

Oxy

Oz

x

M M 3 (0 ; 0 ; z )

15

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

Координаты равных векторов равны.

S

c = p

p

p {4; 5 ; 8 }

c

k

c {4; 5 ; 8 }

O

y

I I I I I I I I

i

j

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x

16

z

I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I

I I

1) Какой из данных векторов равен вектору

E

3 i – 2 k

О M =

R

2 ) Напишите разложение

вектора ОЕ

по координатным векторам

, и

D

= -2 i + 3 k

k

k

i

j

y

N

O

I I I I I I

3 ) Найдите координаты

вектора О R

j

i

{- 2 ;-3; 3}

T

4 ) Какой вектор имеет

координаты

{2;3;0}

О T

5 ) Отложите от т.О вектор с координатами

x

M

{- 2 ; 3; 2}

О D

17

№ 405

АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед.

Найти координаты векторов

z

{ 2 ; 0 ; 2 }

{ 2 ; 0 ; 2 }

O А 1

B 1

O 1

{ 0 ; 3 ; 2 }

{ 0 ; 3 ; 2 }

O В 1

C 1

2

{ 0 ; 0 ; 2 }

O О 1

A 1

y

3

О

{ 2 ; 3 ; 0}

O С

B

2

{ 2 ; 3 ; 2 }

O С 1

A

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

C

ВС 1

АС 1

x

{ 2 ; 3 ; -2 }

О 1 С

18

Координаты вектора

Разложение вектора по координатным векторам

a {-6; 9; 5}

a = – 6 i + 9 j + 5 k

?

n = – 8 i + k

?

n {-8; 0; 1}

c {0; -7; 0}

?

c = – 7 j

m {4; 0; 0}

?

m =4 i

r {-5;-8; 3}

r = –5 i – 8 j +3 k

?

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

s {-7; 1; 0}

?

s = –7 i + j

e {0;3; 21}

?

e = 3 j + 21 k

q {0; 0; 2}

q =2 k

?

19

Координаты вектора

Разложение вектора по координатным векторам

a {-6; 9; 5}

a = – 6 i + 9 j + 5 k

n = – 8 i + k

n {-8; 0; 1}

c {0; -7; 0}

c = – 7 j

m {4; 0; 0}

m =4 i

r {-5;-8; 3}

r = –5 i – 8 j +3 k

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

s {-7; 1; 0}

s = –7 i + j

e {0;3; 21}

e = 3 j + 21 k

q {0; 0; 2}

q =2 k

20

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

1 0

Рассмотрим векторы

a { x 1 ; y 1 ; z 1 }

x 1 i +y 1 j +z 1 k

a = x 1 i +y 1 j +z 1 k

b { x 2 ; y 2 ; z 2 }

x 2 i +y 2 j +z 2 k

b = x 2 i +y 2 j +z 2 k

a+b = + =

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

= ( x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 ) k

a +b { x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ; z 1 +z 2 }

21

b {0; 7;-1} ,

a {3; -5; 2} ,

Даны векторы

№ 407

2

c { ; 0; 0} ,

d {-2,7; 3,1; 0,5}

3

Найдите

2

c { ;0; 0}

2

{ ;7;-1}

a {3;-5;2}

c +b

+

3

+

3

a {3;-5; 2}

b {0;7;-1}

{-2,7; 10,1; -0,5}

d +b

2

c +a { 3 ;-5;2}

a +b {3;2;1}

{0,3; -1,9; 2,5}

a +d

3

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

2

{3 ; 2; 1}

a +b +c

3

{0,3; 5,1; 1,5}

a +b +d

22

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

2 0

Рассмотрим векторы

a { x 1 ; y 1 ; z 1 }

x 1 i +y 1 j +z 1 k

a = x 1 i +y 1 j +z 1 k

b { x 2 ; y 2 ; z 2 }

b = x 2 i +y 2 j +z 2 k

x 2 i +y 2 j +z 2 k

a –b = – =

( )

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

= ( x 1 – x 2 ) i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 ) k

a –b { x 1 –x 2 ; y 1 –y 2 ; z 1 – z 2 }

23

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

3 0

a { x ; y ; z }

a {-2; 1;0}

3

Рассмотрим вектор

3 a {-6; 3; 0}

a = x i +y j +z k

k

a {-2; 0; 3}

(-2)

ka = kx i +ky j +kz k

-2 a {4; 0;-6}

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

ka { kx ; ky ; kz }

a {-2; 5 ;-3}

(- 1 )

- a { 2; -5 ; 3}

24

a - b

Найдите координаты вектора

a {-6; 9;1}

a {-6; 9;1}

a {-6; 9;1}

b {-8;12;-3}

b {-8;12;-3}

b {-8;12;-3}

2 способ

1 способ

(-1)

-

+

a - b {2;-3; 4}

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

-b {8;-12;3}

a - b {2;-3; 4}

25

a - b

№ 409

Найдите координаты вектора , если

1) a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0}

1 способ

2 способ

b {-2;1; 0}

(-1)

a {5;-1; 1}

-

b {-2;1; 0}

a {5;-1; 1}

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

+

a - b {7;-2; 1}

-b {2;-1; 0}

a - b {7;-2; 1}

26

№ 4 10

Даны векторы

c {2; 1;-3}

c {2; 1;-3}

a {-1; 2; 0}

b {0;-5;-2}

b {0;-5;-2}

a {-1; 2; 0}

p

p = 3 b – 2 a + c

Найдите координаты вектора

3

3)

1)

3 b {0;-15;-6}

3 b {0;-15;-6}

+

(-2)

2)

-2 a {2;-4; 0}

-2 a {2;-4; 0}

{4;-18;-9}

3 b – 2 a + c

27

Найдите координаты остальных вершин куба.

z

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

y

О

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

A

B( 3 ; 3 ;0)

x

28

Найдите координаты остальных вершин куба.

z

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

y

О

A

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

B( 4 ; 8 ;0)

x

29

№ 4 08

Найдите координаты векторов

OP.

OM,

AC,

BM,

CB,

AB,

MN,

NP,

OA=4

z

OB=9

M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС

OC=2

С

Р

N

y

k

j

М

В

O

i

А

= –4 i + 2 k

= A О + ОС

Из АОС ,

= –О A + ОС

AC

x

AC {-4; 0 ; 2}

30