\
ось абсцисс
ось аппликат
z
Начало координат -
точка O
Оси координат -
Ox, Oy, Oz
y
ось ординат
О
Координатные плоскости
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Oxy, Oyz, Ozx
Система координат
x
Oxyz
2
Положительная полуось
Положительная полуось
Отрицательная полуось
Отрицательная полуось
z
Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью ,
а другой луч – отрицательной полуосью
О
Отрицательная полуось
Положительная полуось
y
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
x
3
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки
z
M 3
M
y
M (x; y; z)
О
M 2
x = OM 1
абсцисса
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
M 1
y = OM 2
ордината
z = OM 3
x
аппликата
4
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I I I I
O (0; 0; 0)
N (5; 0; 0)
D
F (0; -2; 0)
D (0; 0; 4)
F
M
О
R (0; 0; -0,5)
I I I I I I I I I
y
R
M (0; 3; 0)
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
S ( x ; 0; 0)
Ox
N
P (0; y ; 0)
Oy
x
T (0; 0; z )
Oz
5
z
I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I
N ( 5 ; 4 ; 0)
C (2;-1; 0)
R (-3; -3; 0)
A
F (0; 4; 3)
F
A (0; -3; 4)
R
M (7; 0; 2)
О
y
I I I I I I I I I
D (6; 0;-3)
M
C
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
S ( x ; y ; 0)
Oxy
N
Oyz
P (0; y ; z )
x
Oxz
T ( x ; 0; z )
D
6
Точка лежит
На оси
В координатной плоскости
Ox ( x ; 0; 0)
Oxy ( x ; y ; 0)
Oyz (0; y ; z )
Oy (0; y ; 0)
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Oxz ( x ; 0; z )
Oz (0; 0; z )
7
z
I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
I I I I I I
I I
I I I
I I I I I I I I
I I I I I
A (4;-2,5; 7)
A
S
R
S (5; 4; 8)
N
D (5; 4;-3)
F (-3; 3;-7)
N (0; 0; 4)
О
I I I I I I I I I
y
R (-2;-3; 4)
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
M (7; 0;-1)
C
x
I I I
C (7; 4;-1)
M
D
F
8
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
k
j
i
, и – координатные векторы
i
=1;
Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде
причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
j
=1;
F
k
разложение вектора по координатным векторам
=1
p
k
p = x i + y j + z k
O
y
I I I I I I I I
i
j
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
p{ x; y; z} координаты вектора
F ( x; y; z )
x
9
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор.
S
p
Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора.
k
S ( 4; 5 ; 8)
O
I I I I I I I I
y
i
j
p {4; 5 ; 8 }
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
p =4 i + 5 j + 8 k
x
10
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I
I I I I I
I I
OT {4; 5 ; 0}
R
OD {-1; 3; 3}
D
OF {-1; 3;-6}
OM {5; 0; 0}
k
OE {6; 0; 3}
N
O
y
I I I I I I I I
i
j
ON {0; -3; 0}
E
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
OR {-2; -3; 4}
T
M
x
F
11
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
0 {0;0;0}
O ( 0; 0; 0 )
0 =0 i + 0 j + 0 k
i {1;0;0}
j {0;1;0}
e
k
r
O
I I I I I I I I
y
i
j
k {0;0;1}
f
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
e = – i
e {-1;0;0}
r = – j
r {0;-1;0}
x
f {0;0;-1}
f = – k
12
AB a
AB
A
A
a
B
B
Перпендикуляр на прямую
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Перпендикуляр на плоскость
13
x
Oxz
Найти проекции точки М на координатные плоскости.
Oyz
z
M ( x ; y ; z )
M 2
z
M
M 3
y
y
О
Oxy
M M 1 ( x; y; 0)
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Oyz
M 1
M M 2 ( 0 ; y; z )
Oxy
Oxz
x
M M 3 ( x; 0 ; z )
14
x
Oxz
Найти проекции точки М на оси координат.
Oyz
z
M 3
M ( x ; y ; z )
z
M
y
О
y
M 2
Ox
M M 1 ( x; 0 ; 0)
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
M 1
Oy
M M 2 ( 0 ; y; 0 )
Oxy
Oz
x
M M 3 (0 ; 0 ; z )
15
z
I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I I I I I
Координаты равных векторов равны.
S
c = p
p
p {4; 5 ; 8 }
c
k
c {4; 5 ; 8 }
O
y
I I I I I I I I
i
j
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
x
16
z
I I I I I I I I I I
I I I I I I I I
I I I
I I
1) Какой из данных векторов равен вектору
E
3 i – 2 k
О M =
R
2 ) Напишите разложение
вектора ОЕ
по координатным векторам
, и
D
= -2 i + 3 k
k
k
i
j
y
N
O
I I I I I I
3 ) Найдите координаты
вектора О R
j
i
{- 2 ;-3; 3}
T
4 ) Какой вектор имеет
координаты
{2;3;0}
О T
5 ) Отложите от т.О вектор с координатами
x
M
{- 2 ; 3; 2}
О D
17
№ 405
АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед.
Найти координаты векторов
z
{ 2 ; 0 ; 2 }
{ 2 ; 0 ; 2 }
O А 1
B 1
O 1
{ 0 ; 3 ; 2 }
{ 0 ; 3 ; 2 }
O В 1
C 1
2
{ 0 ; 0 ; 2 }
O О 1
A 1
y
3
О
{ 2 ; 3 ; 0}
O С
B
2
{ 2 ; 3 ; 2 }
O С 1
A
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
C
ВС 1
АС 1
x
{ 2 ; 3 ; -2 }
О 1 С
18
Координаты вектора
Разложение вектора по координатным векторам
a {-6; 9; 5}
a = – 6 i + 9 j + 5 k
?
n = – 8 i + k
?
n {-8; 0; 1}
c {0; -7; 0}
?
c = – 7 j
m {4; 0; 0}
?
m =4 i
r {-5;-8; 3}
r = –5 i – 8 j +3 k
?
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
s {-7; 1; 0}
?
s = –7 i + j
e {0;3; 21}
?
e = 3 j + 21 k
q {0; 0; 2}
q =2 k
?
19
Координаты вектора
Разложение вектора по координатным векторам
a {-6; 9; 5}
a = – 6 i + 9 j + 5 k
n = – 8 i + k
n {-8; 0; 1}
c {0; -7; 0}
c = – 7 j
m {4; 0; 0}
m =4 i
r {-5;-8; 3}
r = –5 i – 8 j +3 k
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
s {-7; 1; 0}
s = –7 i + j
e {0;3; 21}
e = 3 j + 21 k
q {0; 0; 2}
q =2 k
20
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
1 0
Рассмотрим векторы
a { x 1 ; y 1 ; z 1 }
x 1 i +y 1 j +z 1 k
a = x 1 i +y 1 j +z 1 k
b { x 2 ; y 2 ; z 2 }
x 2 i +y 2 j +z 2 k
b = x 2 i +y 2 j +z 2 k
a+b = + =
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
= ( x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 ) k
a +b { x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ; z 1 +z 2 }
21
b {0; 7;-1} ,
a {3; -5; 2} ,
Даны векторы
№ 407
2
c { ; 0; 0} ,
d {-2,7; 3,1; 0,5}
3
Найдите
2
c { ;0; 0}
2
{ ;7;-1}
a {3;-5;2}
c +b
+
3
+
3
a {3;-5; 2}
b {0;7;-1}
{-2,7; 10,1; -0,5}
d +b
2
c +a { 3 ;-5;2}
a +b {3;2;1}
{0,3; -1,9; 2,5}
a +d
3
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
2
{3 ; 2; 1}
a +b +c
3
{0,3; 5,1; 1,5}
a +b +d
22
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
2 0
Рассмотрим векторы
a { x 1 ; y 1 ; z 1 }
x 1 i +y 1 j +z 1 k
a = x 1 i +y 1 j +z 1 k
b { x 2 ; y 2 ; z 2 }
b = x 2 i +y 2 j +z 2 k
x 2 i +y 2 j +z 2 k
a –b = – =
( )
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
= ( x 1 – x 2 ) i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 ) k
a –b { x 1 –x 2 ; y 1 –y 2 ; z 1 – z 2 }
23
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
3 0
a { x ; y ; z }
a {-2; 1;0}
3
Рассмотрим вектор
3 a {-6; 3; 0}
a = x i +y j +z k
k
a {-2; 0; 3}
(-2)
ka = kx i +ky j +kz k
-2 a {4; 0;-6}
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
ka { kx ; ky ; kz }
a {-2; 5 ;-3}
(- 1 )
- a { 2; -5 ; 3}
24
a - b
Найдите координаты вектора
a {-6; 9;1}
a {-6; 9;1}
a {-6; 9;1}
b {-8;12;-3}
b {-8;12;-3}
b {-8;12;-3}
2 способ
1 способ
(-1)
-
+
a - b {2;-3; 4}
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
-b {8;-12;3}
a - b {2;-3; 4}
25
a - b
№ 409
Найдите координаты вектора , если
1) a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0}
1 способ
2 способ
b {-2;1; 0}
(-1)
a {5;-1; 1}
-
b {-2;1; 0}
a {5;-1; 1}
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
+
a - b {7;-2; 1}
-b {2;-1; 0}
a - b {7;-2; 1}
26
№ 4 10
Даны векторы
c {2; 1;-3}
c {2; 1;-3}
a {-1; 2; 0}
b {0;-5;-2}
b {0;-5;-2}
a {-1; 2; 0}
p
p = 3 b – 2 a + c
Найдите координаты вектора
3
3)
1)
3 b {0;-15;-6}
3 b {0;-15;-6}
+
(-2)
2)
-2 a {2;-4; 0}
-2 a {2;-4; 0}
{4;-18;-9}
3 b – 2 a + c
27
Найдите координаты остальных вершин куба.
z
D 1
C 1
A 1
B 1
D
C
y
О
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
A
B( 3 ; 3 ;0)
x
28
Найдите координаты остальных вершин куба.
z
D 1
C 1
A 1
B 1
D
C
y
О
A
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
B( 4 ; 8 ;0)
x
29
№ 4 08
Найдите координаты векторов
OP.
OM,
AC,
BM,
CB,
AB,
MN,
NP,
OA=4
z
OB=9
M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС
OC=2
С
Р
N
y
k
j
М
В
O
i
А
= –4 i + 2 k
= A О + ОС
Из АОС ,
= –О A + ОС
AC
x
AC {-4; 0 ; 2}
30