Математика. Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

AB||CD,   BC||AD.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

AB=CD,   BC=AD;

∠A=∠C,   ∠B=∠D.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.

Задача. В параллелограмме KLMN проведена биссектриса угла K, которая пересекает противоположную сторону LM в точке Р. Найти длину РМ, если известна длина стороны KL = 8 см, а периметр этого параллелограмма – 50 см.

Решение. Построим параллелограмм KLMN и проведем в нем биссектрису угла K. Биссектриса пересечет противоположную сторону LM в точке Р. В параллелограмме длины противоположных сторон равны. Запишем формулу для периметра параллелограмма: Perimetr_KLMN = KL + LM + MN + KN. Поскольку стороны KL = MN и LM = KN, то формулу периметра можно переписать так: Perimetr_KLMN = 2 * KL + 2 * LM. По условию KL = 8 см, а периметр равен 50 см. Тогда: 50 = 2 * 8 + 2 * LM 50 = 16 + 2 * LM 2 * LM = 50 – 16 2 * LM = 34 LM = 34 / 2 LM = 17 (см) Получаем, что длина стороны KN = LM = 17 см. Углы LPK и PKN равны как внутренние накрест лежащие при параллельных LM и KN и секущей KP. По условию KP является биссектрисой угла K. Значит, углы LKP и NKP также равны. Следовательно, углы LKP и LPK – равны, то есть треугольник LKP является равнобедренным с боковыми сторонами LK = LP = 8 см. Запишем длину стороны LM: LM = LP + PM. Подставляем известные длины сторон: 17 = 8 + PM PM = 17 – 8 PM = 9 (см).

Ответ. Искомая длина 9 см.