Математика. Параллелограмм французского математика Пьера Вариньона. Решение олимпиадных задач.

Создателем знаменитого параллелограмма Вариньона является французский механик и математик, член Парижской академии наук, профессор Пьер Вариньон( 1654 -22.12.1722г, Париж).

Он был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. Вариньон руководил « Журналом ученых».

В геометрии Пьер Вариньон изучал различные специальные линии, написал учебник по элементарной геометрии ( издан в 1731).

Главные заслуги его были представлены в Парижскую Академию наук в работе « Проект новой механики…», Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и вывел очень важную теорему, позволяющую решать сложные геометрические задачи более простыми методами, так называемая теорема Вариньона. Он первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона.

Для аналитических рассуждений и решений сложных задач, с использование разных видов четырехугольников мною были изучены следующие теоретические сведения открытые Пьером Вариньоном.

1.Определение бимедианы.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

2.Теорема Вариньона: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KL || AC. По тем причинам MN|| AC. Следовательно, KL||NM и KL=MN=AC/2. таким образом, - параллелограмм.

Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

Теорема: середины сторон выпуклого четырехугольника образуют параллелограмм.

2 . Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD. Теорема доказана.

Следствия из теоремы Вариньона.

Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны и бимедианы перпендикулярны.

Следствие 2.Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следствие 3 ( теорема Эйлера) Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Следствие 4 ( теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан выпуклого четурехугольника равны.

Вывод:  теорема Вариньона и её следствия применяются для различных видов четырехугольника: выпуклых , самопересекающихся четырехугольных замкнутых ломаных, тетраэдра, пространственных четырехугольников и т.д.

Применение теоремы Вариньона при решении сложных ( олимпиадных) задач.

Задача 1

Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Решение.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то параллелограмм Вариньона для прямоугольника ABCD и будет искомым ромбом KLMN.

Задача 2.

Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона KLMN равна половине площади четырехугольника ABCD.

Доказательство.

S ABCD=1/2AC*BD*sin(угла 1).

S KLMN=KL*KN*sin(угла 2)

Учитывая, что угол первый равен углу второму и KL=1/2AC, KN=1/2BD, получим необходимое.

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна

сумме квадратов всех его сторон, т.е.

KM²+LN²=2(KL²+LM²)

Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD

получим:

KM²+LN²=1/2(AC²+BD²),

AC²+BD²=2(KM²+LN²).