Математика. Геометрическая прогрессия + примеры с решениями

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

b_n+1 =b_n · q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0

q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b₁ > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,....

Геометрическая последовательность является убывающей, если b₁ > 0, 0 < q < 1

Например, 

Формула n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b₁ · q ^n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого  (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

b_n² = b_n-1 · b _n+1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии	bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
Знаменатель  геометрической прогрессии
Формула n-го члена   геометрической  прогрессии	bn = b1 · q n-1
Сумма n первых членов   геометрической  прогрессии
Характеристическое свойство  геометрической  прогрессии	bn2 = bn-1 · b n+1

Пример 1.

Дана геометрическая прогрессия b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ... .

Известно, что b₁ = 2/3,  q = - 3. Найти b₆

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b₆ = b₁ · q⁵ = 2/3 · (-3)⁵ = -162

Ответ -162.

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

Решение

b₁= 12, b₂= 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 - 1/3) =  12 / (2/3) = 12 · 3 / 2  = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b₁, если q = 1/3

Решение

150 = b₁ / (1- 1/3)

b₁ = 150· 2/3

b₁= 100

Ответ 100.