Математика. Углы в параллелограмме.

Свойства сторон и углов параллелограмма

I. Теорема

(Свойства сторон и углов параллелограмма)

В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Дано:

ABCD — параллелограмм.

Доказать:

AB=CD, AD=BC,

∠A=∠C, ∠B=∠D.

Доказательство:

Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. (Важно правильно назвать треугольники!)

1) сторона BD — общая

2) ∠ABD=∠CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)

3) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)

Значит,  ∆ABD= ∆CDB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AB=CD, AD=BC

и равенство соответствующих углов:

∠A=∠C.

В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ABD=∠CDB и ∠ADB=∠CB.

Следовательно,

∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC,

то есть, ∠B=∠D.

Что и требовалось доказать.

II. Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых. 

Для параллелограмма ABCD:

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB;

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD;

∠A+∠D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD;

∠B+∠C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.