Тригонометрические функции – это математические функции, зависящие от угла. Определяют тригонометрические функции обычно как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности.
Определения и формулы всех тригонометрических функций
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник , углы и – острые. (рис. 1). Тогда – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу . Катет – это катет, прилежащий к углу .
Рис. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕСинусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе или
Это отношение не зависит от выбора , содержащего угол , так как все такие треугольники подобны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе или
Замечание 1. Катет AC, прилежащий к углу , является противолежащим по отношению к углу . Аналогично с катетом , он противолежащий для угла и прилежащий к углу . Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:
ОПРЕДЕЛЕНИЕТангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету AC или
Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕКотангенсом угла называется отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету или
Котангенс выражается через косину и синус следующим образом:
Замечание 2. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот:
Секансом угла называется отношение гипотенузы к прилежащему катету или
ОПРЕДЕЛЕНИЕСеканс выражается через косинус следующим образом:
Косекансом угла называется отношение гипотенузы к противолежащему катету или
Косеканс можно выразить через синус:
Обратные тригонометрические функции
Основные обратные тригонометрические функции:
1. – арксинус;
2. – арккосинус;
3. – арктангенс;
4. – арккотангенс.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арксинусом числа x, где , называется такое число из промежутка , синус которого равен x.
Арксинус является нечетной функцией, то есть: .
ПРИМЕР 1
Задание |
Найти значения обратных тригонометрических функций:
|
Решение |
1) Вычислим значение , для этого нам нужно найти такой угол из промежутка , чтобы . Воспользуемся таблицей значений синуса:
Выбираем в строке значений синуса значение, равное и определяем, что этому значению соответствует угол . Так как , то получаем: .
2) Вычислим значение
Рис. 1
Первый способ. Найдем угол из промежутка , такой что . Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 1). Значениям синуса соответствуют точки на оси . Отметим на ней значение . Этому значению соответствует и , но промежутку принадлежит только . Таким образом, .
Второй способ. Используем то, что функция арксинус нечетная, тогда . А найдем, используя таблицу значений синуса: при . Тогда окончательно имеем .
|
Ответ |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арккосинус числа x, где , называется такое число из промежутка , косинус которого равен x.
Для арккосинуса справедливо следующее равенство
ПРИМЕР 2
Задание |
Найти значения обратных тригонометрических функций:
|
Решение |
Для вычисления значение , необходимо найти такой угол из промежутка , чтобы . Воспользуемся таблицей значений косинуса:
Выбираем в строке значений косинуса значение, равное и определяем, что ему соответствует угол . Так как , то получаем: .
Вычислим значение .
Рис. 2
Первый способ. Найдем угол из промежутка , такой что . Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 2). Значениям косинуса соответствуют точки на оси . Отметим на ней значение . Значению соответствует два угла и . Промежутку принадлежит только , тогда, .
Второй способ. Воспользуемся равенством . Тогда . Найдем , используя таблицу значений клсинуса. Получим, что значению соответствует . Тогда используя последнее равенство
|
|
Ответ:
Таблица синусов и косинусов
Таблица 1
С помощью этой таблицы можно найти стандартные значение синуса или косинуса. Искомое значение будет лежать на пересечении столбца соответствующего заданному аргументу (в радианах или в градусах) и строки соответствующей заданной функции.
|