Простое число — это целое число (положительное) из разряда натуральных чисел, которое имеет только 2 разных натуральных делителя. Если сказать по-другому, число p тогда будет простым, когда оно больше единицы и может быть разделено лишь на единицу и на себя самого - p.
Натуральные числа, большие единицы и числа, которые не являются простыми, называют составными числами. Т.о., все натуральные числа делятся на 3 класса: единица (имеет 1 делитель), простые числа (имеют 2 делителя) и составные числа(имеют больше 2-х делителей).
Начало последовательности простых чисел выглядит так:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …
Если представить натуральные числа как произведение простых, то это будет называться разложение на простые либо факторизация числа.
Самое большое простое число, которое известно.
Самое большое известное простое число - это 257885161 - 1. Это число состоит из 17 425 170 десятичных цифр и называется простое число Мерсенна (M57885161).
Некоторые свойства простых чисел.
Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.
Кольцо вычетов Zn будет называться полем только в случае, если n — простое.
Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.
Когда p — простое, а a — натуральное, значит, ap-a можно поделить на p (малая теорема Ферма).
Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).
Когда G — конечная группа, и pn — самая высокая степень p, делящая |G|, значит, у G есть подгруппа порядка pn, которая называется силовская подгруппа, кроме того, число силовских подгрупп соответствует pk+1 для некоего целого k (теоремы Силова).
Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).
Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n < p < 2 n (постулат Бертрана).
Ряд чисел, которые обратны к простым, расходится. Кроме того, при .
Всякая арифметическая прогрессия типа a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ... , где a, q > 1 — целые взаимно простые числа, содержит нескончаемое число простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Когда p > 3 — простое число, значит, p2-1 делится на 24 (работает и на нечётных чисел, которые не делятся на три).
Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.
Ни одно простое число нельзя представить как nk-1, где n>2, k>1. Другими словами, число, которое следует за простым, не может быть квадратом либо более высокой степенью с основанием, которое больше двух. Можно сделать вывод, что когда простое число представлено как 2k-1, значит k — простое.
Ни одно простое число нельзя представить как n2k+1+1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.
Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:
Этот многочлен содержит 26 переменных, имеет 25. Самая низкая степень для известных многочленов представленного вида — пять при 42 переменных; самое маленькое количество переменных — десять при степени приблизительно 1,6·1045.
Действия с простыми числами.
1. Произведение простых чисел.
2. Разность простых чисел.
3. Сумма простых чисел.
4. Деление простых чисел.