Математика. Построение угла по заданным значениям его тригонометрических функций.

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси [Math Processing Error]\displaystyle OxOx против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный [Math Processing Error]\displaystyle 180+45=225{}^\circ180+45=225​∘​​. Аналогичным образом мы строили все углы. Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси [Math Processing Error]\displaystyle OxOx по часовой стрелке. Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке: 

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном. Посмотри на следующую картинку: 

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях. Что мы с тобой видим? А вот что:

• Синусы у углов [Math Processing Error]\displaystyle \alphaα и [Math Processing Error]\displaystyle -\alpha−α противоположны по знаку! Тогда если

  [Math Processing Error]\displaystyle \text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{y}sin  α =y, то [Math Processing Error]\displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{y}sin(− α )=−y [Math Processing Error]\displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }sin(− α )=−sin  α 

• Косинусы у углов [Math Processing Error]\displaystyle \alphaα и [Math Processing Error]\displaystyle -\alpha−α совпадают! Тогда если

  [Math Processing Error]\displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{x}cos  α =x,то и [Math Processing Error]\displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{x}cos(− α )=x [Math Processing Error]\displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }cos(− α )=cos  α 

• Так как [Math Processing Error]\displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}tg(− α )=​cos(− α )​​sin(− α )​​=​cos( α )​​−sin( α )​​, то:

  [Math Processing Error]\displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }tg(− α )=−tg α 

• Так как [Math Processing Error]\displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}ctg(− α )=​sin(− α )​​cos(− α )​​=​−sin( α )​​cos( α )​​, то:

[Math Processing Error]\displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{ctg}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }ctg(− α )=−ctg  α 

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса. Кстати, вспомни-ка, как называется функция [Math Processing Error]\displaystyle f(x)f(x), у которой для любого допустимого [Math Processing Error]\displaystyle xx выполняется:[Math Processing Error]\displaystyle f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)? Такая функция называется нечетной. А если же для любого допустимого [Math Processing Error]\displaystyle xx выполняется: [Math Processing Error]\displaystyle f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)? То в таком случае функция называется четной. Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):