Математика. Обобщенный метод интервалов при решении неравенств.

Обобщенный метод интервалов. 

Некоторые алгебраические неравенства степеней более высоких, чем вторая, цепочкой равносильных переходов приводятся к виду

(или ), (2)

где k_lt k₂, ..., k_n-1,k_n — фиксированные натуральные числа,

х₁, х₂, … х_n-1,x_n—фиксированные действительные числа, среди которых нет равных, и такие, что х₁<х₂< … <х_n-1<x_n . Тогда неравенства вида (2) решаются так называемым обобщенным методом интервалов.

Рассмотрим многочлен Р(х)= (3)

Очевидно, что для любого числа y_о, такого, что y_о> х_n, соответствующее значение любого сомножителя в произведении (3) положительно, поэтому числовое значение Р(y_о) многочлена Р(х) также положительно.

Для любого числа y₁, взятого из промежутка (x_n-1,x_n) , соответствующее числовое значение любого сомножителя, кроме последнего, положительно; соответствующее числовое значение последнего сомножителя положительно, если k_n - четное число, и отрицательно, если k_n - нечетное число. Поэтому число Р(y₁) - положительно, если k_n -четное число, и число Р(y₁) - отрицательно, если k_n - нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен Р(х) при переходе через точку x_n меняет знак, если k_n - нечетное число, и не меняет знака, если k_n - четное число.

Аналогично показывается, что если известен знак многочлена Р(х) на промежутке (x_i,x_i+1), тона промежутке (х_i-1,x_i), знак определяется по правилу: многочлен Р(х) при переходе через точку x_i меняет знак, если k_t -нечетное число, и не меняет знака, если k_t -четное число. На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов

- на числовую ось наносятся числа х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;

- в промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от х_n, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак плюс, если k_n - четное число, и знак минус, если k_n- нечетное число;

- в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен Р(х) при переходе через точку х_n-1 , меняет знак, если k_n-1 - нечетное число, и не меняет знака, если k_n-l — четное число;

- затем рассматривается следующий за ним справа налево промежуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом;

- таким образом рассматриваются все промежутки.

- решением неравенства (2) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс (или минус).

Решение неравенства  (4)

в случае, если Р(x), R(x) и M(x) будут многочленами, можно провести так.

Неравенство (4) надо сначала переписать в равносильном виде

, (4.1)

Затем, воспользовавшись одним из утверждений равносильности неравенств, умножить неравенство (4.1) на R2(х) и записать неравенство

,), (5)

равносильное неравенству (4.1) на его ОДЗ. Наконец, неравенство (5) решить методом интервалов. Множество всех решений неравенства (5) и будет множеством всех решений неравенства (4).

Пример. Решить неравенство

 (6)

Прежде всего, умножая это неравенство на , получим равносильное ему неравенство . (7)

Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой

оси отметим числа (-5), , , 7. 

Справа от наибольшего числа, т. е. от числа 7, ставим знак плюс. При переходе через точку (7) многочлен  меняет знак, так как двучлен (х-7) содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке ставим знак минус. При переходе через точку  многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен  содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке  ставим знак плюс. При переходе через точку  многочлен Р(х) неменяет знака, так как двучлен  содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке  ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку (-5) многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  ставим знак минус. Итак, решение неравенства (7) и равносильного ему неравенства (6) - совокупность всех промежутков, где поставлен знак плюс, т. е. множество всех решений неравенства есть множество .

Суть метода интервалов заключается в следующем:

• С помощью равносильных преобразований приводим неравенство к виду

f(x)*0   

где * - один из знаков: >, <, >=, <=.

Комментарий: Выражение  f(x)  рассматриваем как некоторую функцию и тогда неравенство сводится к нахождению промежутков знакопостоянства и нулей функции.

• Находим нули функции, то есть решения уравнения f(x)=0.