Математика. Корень n-й степени и его основные свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корнем n-ной степени из числа a называется такое число, n-ная степень которого равна a.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическим корнем n-ной степени из числа а называют неотрицательное число, n-ная степень которого равна a.

Свойства квадратных корней.

• ;

•  если а ≥ 0 и b > 0;

•  если а ≥ 0 и n — натуральное число;

•  если а ≥ 0 и n — натуральное число.

• Обратите внимание, (−5)² = 25, но .

• Корень не может равняться неположительному числу.

•  — невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.

• Если , то b² = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0, это одно из важнейших свойств корней.

• Важно понимать, что квадратный корень - это другая запись степени ½:

Например:

• Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

•   Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

•  Корень от частного  равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

  Обратно:

•   Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

  Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

•   Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей (тоже важное свойство корней):

  Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений: