Магия магических квадратов

Магия магических квадратов

Работу выполнила

Сажина Наталья, ученица 5 «г» класса

Руководитель

Кукушкина Анна Владимировна

учитель математики МОУ лицея № 86

Цель работы:

• Выяснить, может ли квадрат быть магическим

Задачи:

• Познакомиться с историей появления магических квадратов
• Выяснить их связь с жизнью
• Вывести алгоритм построения магического квадрата

Магические квадраты — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк) таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям .

Определение.

Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов , которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто мистическое и смотрели на них как на талисманы.

Придуманы магические квадраты впервые китайцами , так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000 - 5000 лет до нашей эры

(Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка»)

Легенда о китайском магическом квадрате

М агический квадрат девятки, Ло-шу, был обнаружен на спине священной черепахи, которая жила у реки Ло, протекавшей через древнюю столицу Лоян.

Согласно преданию, Фу Си (мифический прародитель китайской цивилизации) получил панцирь черепахи с начертанным на нем магическим квадратом и знание его символов от Великого императора (божества) в знак признания за профессионально выполненные технические работы на реке Ло.

В чём же магия квадрата ло- шу?

4

9

3

2

5

8

1

7

6

Четные инь-числа располагались во внешних углах квадрата, а нечетные ян-числа - в углах внутреннего квадрата .

Сумма чисел любого горизонтального, вертикального ряда или диагонали

равна пятнадцати .

4

9

3

2

5

8

7

1

6

15

15

15

15

15

15

15

15

Как составить магический квадрат?

3

4

9

1

5

2

7

8

6

• Определим сумму в каждой строке, столбце, диагонали.

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;

45:3=15.

2. Представим число 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9

9+5+1

9+4+2

8+6+1

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

9+ 5 +1 9+4+2

8+ 5 +2 8+6+1

7+ 5 +2 8+4+3

6+ 5 +4 7+6+2

3

4

9

1

5

2

7

8

6

9+ 4 + 2 8 + 4 +3 6 +5+4

8 +5+ 2

7+ 6 + 2 8 + 6 +1 7+5+3

3

4

9

5

1

2

7

8

6

А сколько таких квадратов существует?

6

8

3

1

1

7

2

5

4

8

6

5

7

9

9

3

2

4

Ответ: 8 квадратов

Всего таких квадратов 8:

2

4

8

4

7

9

3

9

1

3

3

9

5

4

6

4

6

5

5

2

2

5

8

8

7

1

3

1

9

1

7

7

2

6

6

8

1) 2) 3) 4)

6

8

2

6

9

1

1

7

3

1

7

7

6

5

5

5

4

8

5

2

6

8

2

4

9

1

9

3

3

7

9

3

2

4

4

8

5) 6) 7) 8)

Задачи с магическими квадратами:

1. Впишите в клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим.

18

16

15

14

12

13

11

19

17

Задачи с магическими квадратами:

2. Расставьте числа 1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67 и 73 в клетки квадрата 3*3 так, чтобы он был магическим.

7

61

73

43

37

31

13

1

67

«Дьявольский» квадрат

7

2

12

13

16

1

14

8

3

9

11

6

10

5

15

4

Древнейший из дошедших до нас квадратов четвёртого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхаджурахо (Индия).

В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века. 

А в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравёром и немного математиком А. Дюрером

Магический квадрат А. Дюрера

А. Дюрер « Меланхолия»(1514)

В начале XVI в. магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравёр Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат 4×4 клетки

Магия квадрата А. Дюрера

Заслуга Дюрера заключается в том, что он сумел так вписать в расчерченный квадрат числа от 1 до 16, что сумма 34 получалась не только при сложении чисел по вертикали, горизонтали и диагонали, но и во всех четырех четвертях, в центральном четырехугольнике и даже при сложении четырех угловых клеток. Также Дюрер сумел заключить в таблицу год создания гравюры «Меланхолия»(1514)

Магический квадрат Б. Франклина

52

61

14

4

3

63

13

62

11

60

20

51

6

5

55

46

29

59

12

58

9

36

35

7

50

54

8

21

45

30

43

63

57

16

28

10

19

56

23

1

37

38

2

26

15

64

27

41

44

49

39

18

22

40

31

25

42

48

24

34

33

47

32

17

Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Магический квадрат 8х8 Бенджамина Франклина

Магический квадрат М. Штифеля

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году, приводит магический квад­рат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров. Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.

Магические квадраты существуют, и каково бы ни было их значение, или назначение, каким бы ни было отношение к ним со стороны математиков, или мистиков, одного у них не отнять — бессмертной красоты числовых сочетаний!

В результате работы над темой я ответила на следующие вопросы:

• Что такое магический квадрат?
• Как появился магического квадрат?

3. Как построить магический квадрат?

Спасибо за внимание!

Использованная литература:

• Задачи на смекалку/Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов. - М. :Дрофа,2006.

2. Математика: Учеб. для 5 кл./Г.В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 2001.

Использованы интернет- ресурсы

• http://www.sibirsky.org
• http://matkonkurs.ucoz.ru
• http://www.zhengongfu.org
• http://lifeglobe.net/blogs/details?id=692
• http://storyplaces.net
• http://www.christofor.ru/spain/barcelona/gaudi/index.php