Линейные уравнения с модулем

Уравнения с модулем

Определение модуля числа: Модуль числа есть всегда неотрицательное число. Модуль положительного числа есть само число, а отрицательного – противоположное. Модуль нуля – ноль.

Рассмотрим простейшие уравнения с модулем

1.Решить уравнение |x|= 3. Из определения модуля корнем уравнения может быть либо само число 3 или противоположное ему -3. Вот и все.

Ответ: x₁= 3, x₂= 3.

1.Решить уравнение |x|= -3. Уравнение решения не имеет, модуль любого числа неотрицателен, а правая часть уравнения отрицательна.

3. Решить уравнение |x – 5|= 3. Снова решаем на основании определения, может быть снова два варианта 1) x – 5 = 3, 2) x – 5 = - 3. Получаем x₁ = 8, x₂ = 2.

Ответ: x₁= 8, x₂= 2. Числа 8 и 2 находятся на расстоянии 3 от числа 5 на координатной прямой.

Метод интервалов при решении уравнений с модулем

4. Решить уравнение |x – 5|+|x – 1|= 10.

Рассмотрим промежутки на числовой оси между точками, где модули равны нулю.

Первый промежуток . На этом числовом промежутке |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5;

|x – 1|= -(x – 1) = - x + 1. Упростим уравнение -x + 5 - x + 1 = 10  -2x + 6 = 10  x = - 2. . Значит – 2 корень этого уравнения. Второй промежуток Упрощаем из определения модуля |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5; |x – 1|= x – 1. Упрощаем -x + 5 + x - 1 = 10  4 = 10 не верно, значит на этом промежутке корней нет. Третий промежуток по аналогии x – 5 + x – 1 = 10  2x= 16  x = 8.

Ответ: x₁ = -2; x₂ = 8.

5. Решить уравнение|x+1| - |x -2| + |x -3| = 6.

Аналогично решаем уравнение методом интервалов, здесь интервалов уже 4.

1) x x – 1 + x - 2 – x + 3 = 6  x = - 6, корень уравнения -6

2) -1 ≤ x x + 1 + x – 2 – x + 3 = 6  x = 4, решения нет - 1 ≤ 4

3) 2 ≤ x x + 1 –x + 2 – x + 3 = 6  x = 0, решения нет 2 ≤ 0

4) x ≥ 3, x + 1 – x + 2 + x – 3 = 6  x = 6, корень уравнения 6 ≥ 3 верное,

Ответ: x₁ = - 6, x₂ = 6.

При решении методом интервалов важно, чтобы полученное значение на решение было из своего интервала.

6. Решить уравнение |x – 5|=|x – 1|. Из определения модуля следует

Ответ: x = 3.

Можно решить и другим способом:

Примеры для самостоятельного решения уравнений с модулем.

|x + 1|+ |x+5| = 6;

|x - 2|+|x - 3| = 8;

|x - 4|- |x - 3| = 7;