Линейные и квадратные неравенства

Черноволова Е.В .

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ

имени. В.И. Истомина

§ 1. Линейные и квадратные неравенства

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени .В.И. Истомина

п. 1 Равносильность неравенств

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени .В.И. Истомина

Определения неравенств

Определение 1 (линейное неравенство)

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида действительные числа

Определение 2 (квадратное неравенство)

Квадратным неравенством с одной переменной называют неравенство вида действительные числа

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Определения неравенств

Определение 3 (решение неравенства)

Решением неравенства (или частным решением) называют такое значение переменной которое обращает неравенство верное числовое равенство.

Множество всех частных решений называют общим решением неравенства.

Определение 4 (равносильные неравенство)

Два неравенства и называют равносильными, если они имеют одинаковые решения ,или не имеют решений

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Равносильные преобразования неравенств

Правило 1

Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже положительное число, то знак неравенства сохраняется

.

Правило 3

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Равносильные преобразования неравенств

Правила ,

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже положительное , при всех выражение , то получим неравенство равносильное данному и знак неравенства сохраняется

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже отрицательное , при всех выражение , то получим неравенство равносильное данному и знак неравенства меняется на противоположный.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Решение квадратных неравенств графическим способом

1. Переходим от квадратного неравенства к квадратному уравнению.

2. Определяем знак старшего коэффициента (направление ветвей параболы).

3. Находим корни квадратного уравнения удобным/рациональным способом . Это точки пересечения параболы с осью .

4. Схематически изображаем параболу.

5. Выбираем ту часть параболы, которая удовлетворяет нашему неравенству.

6. Записываем решения (промежутки).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Алгоритм решение квадратных неравенств методом интервалов

• Разложить многочлен на простые множители

• Найти корни многочлена

• Изобразить их на числовой прямой

• Разбить числовую прямую на интервалы

• Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства

• Выбрать промежутки нужного знака

• Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

п. 2 Решение неравенств

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Пример 1 Решить неравенство:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Пример 2 Решить неравенство:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Пример 3 Решить неравенство:

а)

б)

Решение:

• Переходим к уравнению
• Выделим неполный квадрат
• Находим вершину параболы
• Строим параболу с помощью движения
• Решаем неравенства

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Пример 4 Решить неравенство

а)

б)

в)

г)

Решение:

• Переходим к уравнению
• «Сворачиваем» формулу
• Ищем нули
• Отмечаем нули на числовой прямой (петля!)
• Решаем неравенства

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Теорема 1

Если квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то при любом значение трехчлена имеет знак старшего коэффициента

Пример 5 Решить неравенство:

а)

б)

Решение:

а)

б)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 6 Решить неравенство методом интервалов:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 7 При каких значениях параметра уравнение

имеет не более одного корня?

Решение:

Условие «имеет не более одного корня» означает, что корень либо единственный, либо их нет

1) Если , то уравнение становится линейным и имеет корень

2) Если , то уравнение становится квадратным и оно имеет один кореньлибо не имеет корней тогда, когда

3) Пользуясь формулой дискриминанта составим и решим неравенство

4) Решив неравенство получаем, что

5) О

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

п. 3 Решение неравенств с модулями

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Геометрическое истолкование выражения

- это расстояние на координатной прямой между точками

, которое обозначают

=

Например:

= ; = : = .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Пример 8 Решить неравенство: а)

Решение:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 8 Решить неравенство: б)

Решение:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Пример 8 Решить неравенство: в)

Решение:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

п. 3 Решение неравенств с модулями

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина