Описанная окружность
Всегда ли можно вписать окружность в четырехугольник?
Всегда ли можно вписать окружность в треугольник?
Где находится центр окружности, вписанной в треугольник?
Определение: окружность называется описанной около треугольника,
если все вершины треугольника
лежат на этой окружности.
На каком рисунке окружность описана около треугольника:
1)
2)
3)
4)
5)
Если окружность описана около треугольника,
то треугольник вписан в окружность.
Что лишнее?
Теорема. Около треугольника можно описать окружность,
и притом только одну.
Её центр – точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
В
Дано: АВС
Доказать: существует Окр.(О; r),
описанная около АВС.
p
k
О
А
Доказательство:
Проведём серединные перпендикуляры
p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС
n
С
По свойству серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
(замечательная точка треугольника):
они пересекаются в одной точке – О, для которой ОА = ОВ = ОС.
Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит,
они лежат на окружности с центром О.
Значит, окружность описана около треугольника АВС.
Важное свойство:
Если окружность описана около прямоугольного
треугольника, то её центр – середина гипотенузы.
A
R
O
R
R = ½ AB
C
B
Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.
Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника,
лежит вне треугольника.
Формулы для радиуса описанной около треугольника
окружности
c
R =
a
R
b
Задача: найти радиус окружности, описанной около
равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см.
Решение:
R =
R =
,
(см)
Ответ:
см
Важные формулы
Радиус описанной окружности около квадрата , где
a - сторона квадрата
d - диагональ
Формула радиуса описанной окружности треугольника , где
a , b , c - стороны треугольника
p - полупериметр
Формула радиуса описанной окружности треугольника , где
a - сторона треугольника
α – угол, лежащий против стороны а.
Радиус описанной окружности равностороннего
треугольника , где a - сторона треугольника
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ,
a , b - катеты прямоугольного треугольника
c - гипотенуза
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти боковую сторону и площадь треугольника.
В
Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см
Окр.(О; 10 см) описана около АВС
Найти: АВ, S АВС
Решение:
О
Т. к. окружность описана около
равнобедренного треугольника АВС, то центр
окружности лежит на высоте ВН.
А
С
Н
АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО =
= 16 – 10 = 6 (см)
АОН – прямоугольный, АО 2 = АН 2 + АН 2 , АН 2 = 10 2 – 6 2 = 64, АН = 8 см
АВН – прямоугольный, АВ 2 = АН 2 + ВН 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256= 320,
АВ =
(см)
АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), S АВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см 2 )
,
Ответ: АВ =
см
S = 128 см 2
Определение: окружность называется описанной около
четырёхугольника,
если все вершины четырёхугольника лежат на окружности.
Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то
сумма его противоположных углов равна 180 0 .
C
Дано: Окр.(О;R) описана около АВСD
A + C = B + D = 180 0
Доказать:
D
B
О
Доказательство:
Т. к. окружность описана около АВСD, то
А, В, С, D – вписанные, значит,
A
А + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ ( BCD + BAD) = ½ · 360 0 = 180 0
B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ ( ADC+ ABC) = ½ · 360 0 = 180 0
Значит,
A + C = B + D = 180 0
Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность
четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .
Обратная теорема: если сумма противоположных углов
четырёхугольника равна 180 0 , то около
него можно описать окружность.
C
Дано: АВСD, A + C = 180 0
D
B
О
Доказать:
Окр.(О;R) описана около АВСD
Доказательство: № 729 (учебник)
A
Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать
окружность, её центр – точка пересечения диагоналей.
Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать
окружность.
А
В
С
К
Реши задачи
Найти углы четырёхугольника РКЕН:
В
Е
С
?
К
120 0
70 0
?
О
80 0
80 0
М
А
Р
Н
Это интересно
Центр окружности, которую описывает радуга, всегда лежит на прямой, проходящей через Солнце и глаз наблюдателя!