Контрольная работа по геометрии «Треугольники» 7 класс 2021-2022 учебный год

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Видновская средняя общеобразовательная школа №5

с углубленным изучением отдельных предметов»

142701, Московская область, Ленинский район, город Видное, улица Советская, 24

Телефон: 8 (495) 541-05-57, e-mail: [email protected]

Контрольная работа

по геометрии

«Треугольники»

7 класс

2021-2022 учебный год

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 2

Треугольники

Нуждина Елена Николаевна,

учитель математики

Вариант 1

1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если AB = BC и BF = BD.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.

3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажи те, что AD = CE.

4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

5. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону AC в точке M. Найдите сторону AC треугольника ABC, если BC = 8 см, а периметр треугольника MBC равен 25 см.

Вариант 2

1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB = BC и ∠ABD = ∠CBD.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.

3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK.

4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

5. Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону AC, если AB = 7 см.

Ответы:

Дано: ΔABF, ΔCBD, AB=BC, ВF=BD.
Доказать: ΔABF = ΔCBD.
Доказательство. Так как прямые АС и DF пересекаются в точке В, то углы DBC и ABF — вертикальные. Другой вариант: Так как луч ВС противоположен лучу ВА, а луч BD противоположен лучу BF, и у всех этих лучей общая вершина – В, то углы DBC и ABF — вертикальные. Следовательно, ∠DBC = ∠ABF.
Так как:
1) ∠DBC = ∠ABF,
2) AB = BC (по условию),
3) ВF = BD (по условию),
то ΔABF = ΔCBD по 1-му признаку равенства треугольников.

№ 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.

Дано: ΔABC (AB=BC); P = 33 см; АС на 3 см Найти: АВ, ВС, АС – ?
Решение. 1) Пусть АС = х, тогда AB = BC = х+3.
2) Р = АВ + ВС + АС = х+3 + х+3 + х = 33.
3х = 33 — 6 = 27  ==  х = 27/3 = 9 (см).
АС = 9 (см); АВ = ВС = 9 + 3 = 12 (см).
Ответ: 12 см, 12 см, 9 см.

№ 3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажи те, что AD = CE.

Дано: ΔABC (AB=BC); D ∈ AB; E ∈ BC; ∠ACD = ∠CAE
Доказать: AD = CE.
Доказательство: Так как
1) ∠ACD = ∠CAE (по условию),
2) АС – общая сторона,
3) ∠DAC = ∠ECA (св-во равнобедр. Δ),
то ΔDAC = ΔFCA по 2-му признаку равенства треугольников. Следовательно, AD = CE.

№ 4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

Дано: EK = FK, EC = FC.
Доказать: ∠EMK = ∠FMK.
Доказательство:
1) Так как EK = FK (по условию), EC = FC (по условию), КС — общая, то ΔЕКC = ΔFКС по 3-му признаку равенства треугольников.
2) так как ΔЕКC = ΔFКС, то ∠КСЕ = ∠КCF и ∠МСЕ = ∠МCF.
3) Так как ∠МСЕ = ∠МCF, EC = FC (по условию), а МС — общая сторона, то ΔЕМC = ΔFМС по 1-му признаку равенства треугольников.
Следовательно, ∠EMK = ∠FMK.

№ 5. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону AC в точке M. Найдите сторону AC треугольника ABC, если BC = 8 см, а периметр треугольника MBC равен 25 см.

Дано: ΔABC, l – серед.⊥ к АВ; АН = ВН; l ∩ AC = M; ВС = 8 см; Р_МВС = 25 см.
Найти: AC — ?
Решение: Так как
1) АН = ВН (по условию),
2) ∠MHB = ∠MHA = 90° (по условию)
3) НМ – общая сторона,
то ΔАНМ = ΔВНМ по 1-му признаку равенства треугольников.
Следовательно, АМ = ВМ.
Р_МВС = ВС + ВМ + МС = ВС + (АМ + МС) = ВС + АС = 25.
АС = Р_МВС — ВС = 25 — 8 = 17 (см)
Ответ: 17 см.