Конспект урока "Задачи на максимум и минимум"

11 класс, алгебра ___________

Урок № 37

Тема: Задачи на максимум и минимум

Урок усвоения знаний и умений

Цель: обобщить и систематизировать понятия максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума; рассмотреть алгоритм решения задач на нахождения максимума и минимума;

Задачи:

1) Образовательная – использовать знания при решении прикладных задач

2) Развивающая - Развивать познавательную деятельность учащихся, творческую активность, внимание, логическое мышление, навыки самоанализа и самоконтроля;

3) Воспитательная – Воспитывать желание учиться, самостоятельность, уважение к математике.

В результате изучения темы учащиеся должны

• уметь решать прикладные задачи на нахождение наибольших или наименьших значений реальных величин;

Оборудование: учебник, презентация

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация опорных знаний

а) Фронтальный опрос:

- Что называется производной функции?

- Какие точки называются критическими?

- Как найти максимум и минимум функции?

- Как по знаку производной определить возрастает или убывает функция?

- Повторить алгоритм решения задач на нахождение максимума и минимума.

Работа с презентацией

5. Решение тренировочных упражнений

Задача 1. Число 20 запишите в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтоб произведение их квадратов была наибольшим.

Решение

Пусть первое слагаемое равняется х, тогда другое слагаемое равняется 20 – х, причём х є [0; 20].

Произведение квадратов этих слагаемых (20 – х)² · х². Итак, задача сводится к нахождению такого х, при котором функция f(x) = (20 - х)² · х² достигает наибольшего значения на отрезке [0; 20].

Найдем производную f'(x) = 2(20 - х) · (20 - х)' х² + (20 - х)² · 2х = -2x²(20 - х) + (20 - х)² · 2х = 2х(20 - х)(20 – 2х).

Стационарными точками функции есть точки 0; 20; 10. Тогда

f(0) = (20 – 0)² · 0² = 0; f(l0) = (20 - 10)² · 10² == 10 000;

f(20) = (20 - 20)² · 20² = 0.

Итак f_наиб. = f(10) = 10 000. Таким образом, число 20 следует представить в виде 20 = 10 + 10.

Ответ: 20 = 10 + 10.

З адача 2. Среди прямоугольников, которые имеют периметр 20 см, найти тот, диагональ которого наименьшая.

Решение

Пусть длина одной из сторон прямоугольника х см, тогда другая сторона равняется (10 - х) см, где 0 х 10. Тогда диагональ прямоугольника выражает­ся формулою у = = . Найдем стационарные точки: