Конспект урока по теме: "Вычисление площадей с помощью интегралов "

№

Этап урока

Название используемых

ЭОР

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

в мин.

1

2

3

4

5

6

1

Организационный момент.

Приветствие кадет. Определение готовности учащихся к уроку.

Сформулировать тему и цели урока.

Приветствуют учителя.

1

2

Актуализация знаний.

1)Расставьте эти элементы в правильном порядке: (слайд 3)

1.Интеграл

2.Определенный интеграл

3.Формула Ньютона-Лейбница

4.Геометрический смысл определенного интеграла

5.Криволинейная трапеция

6.Площадь криволинейной трапеции

2) Дайте определение каждому элементу содержания темы.

3) Какие еще знания необходимы для успешного вычисления интегралов и площадей фигур?

Формула Ньютона-Лейбница… Откуда взялась эта формула? Ответ на этот вопрос узнаем из исторической справки. (слайд 4)

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах. Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4;3 века до нашей эры) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь вычисляли как сумму площадей полученных элементарных кусочков.

Символ интеграла введен Г. Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы «S» (первой буквы слова «сумма»). Само слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли. Вероятно, оно происходит от латинского «integero», которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была получена подынтегральная функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.Бернулли , и с 1696 г. появилось название новой ветви математики –«интегральное исчисление». Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г.Лейбниц, а «определенный интеграл» ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо друг от друга установили И.Ньютон и Г.Лейбниц.»

15

3

Изучение нового материала.

Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Обратите внимание на экран. Что изображено на рисунке слева? Справа? (Слайд 5)

Плоская фигура - это фигура ограниченная прямыми x = a, x = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [a; b] выполняется неравенство g(x) f(x).

Как можно вычислить площадь этой фигуры? (Слайд 6)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех х из отрезка [a; b]выполняется неравенство g(x) f(x), вычисляется по формуле:

S=

Сформулируем и запишем алгоритм нахождения площадей плоских фигур:

1.Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

2.Найти пределы интегрирования.

3.Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

4.Вычислить полученный интеграл.

7

4.

Формирование умений и навыков.

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. (слайд 8)

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. Заштрихуем площадь фигуры, площадь которой надо найти.

Воспользовавшись формулой , получим

S=

Ответ: S = 2.

IV. Применение знаний, формирование умений

А) Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = x – 2 и параболой y = x² – 4x + 2. (слайд 9)

Решение:

Построим прямую y = x – 2 по точкам, например (2; 0) и (0; -2).

Для построения параболы найдем координаты вершины по формулам ;

X_b=- yв = y(xв). Имеем: x=2 y=-2

Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2). Возьмем пару дополнительных точек, например (0; 2), (4; 2) и построим график данной квадратичной функции.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы, для чего решим уравнение

X² – 4х + 2 = х – 2

Находим последовательно: х² – 5х + 4 = 0;

х1 = 1; х2 = 4.

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями y = x² – 4x + 2 (снизу) и y = x – 2 (сверху). С боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4.

Для вычисления площади фигуры можно применить изученную сегодня формулу. Тогда площадь данной фигуры:

S=

Ответ: S = 4,5.

10

5

Рефлексия

Вопросы учащимся:

1. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

2. Как найти площадь криволинейной трапеции?

2

Домашнее задание

П.58, №1020(2), №1014(2, 4)

1