Конспект урока по теме "Теорема Виета"

Теорема Виета.

Урок №1. Теорема Виета.

Цель урока: 1. Изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять её при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней, решении квадратных уравнений, при проверки правильности нахождения корней квадратных уравнений. 2. Развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа, коммуникативные навыки, навыки самостоятельной работы. 3. Воспитывать диалоговую культуру, формировать положительную мотивацию к математике.

Оборудование: компьютерная презентация, ЛИО, таблички с вопросами.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

• О чём шла речь на предыдущем уроке? (о способах решения квадратных
  уравнений)

• Что значит решить уравнение? (это найти все его корни или доказать, что корней нет.)

Сегодня мы с вами продолжаем изучать квадратные уравнения и его корни. Пусть слова Козьмы Пруткова «Зри в корень» будут эпиграфом урока. Улыбнитесь себе, друг другу и мне, мы дружно и с хорошим настроением начинаем работать. Унынье и лень умножить на нуль.

• (Работа на ИЛО)

• По какому признаку разбили уравнения на группы?

• Дать определение полного квадратного уравнения, неполного, приведённого.

• От чего зависит наличие корней квадратного уравнения?

• Как зависит?

• Запишите формулу дискриминанта приведённого квадратного уравнения. (D=p²-4q)

II. Мотивация.

• Поверите ли вы мне, если я скажу, что уравнения, которые вы видите на слайде, можно решить устно, не выполняя громоздких вычислений

2008 х² - 2007х -1 = 0;

2х²-2008х + 2006 = 0;

х² - 2009х + 2008 = 0.

(Мы не сможем, так как они имеют очень большие коэффициенты)

Изучение нового материала.

Вот в этом нам и поможет теорема Виета. Запишите тему урока: «Теорема Виета».

1. Постановка учебной задачи. Ответы на какие вопросы вы бы хотели

получить в связи с названной темой?

IV. Моделирование правила.

а) Запишите чему равны коэффициенты р, q и найдите сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения:

б) Сравни сумму и произведение с коэффициентами р и q. Сделай вывод.
V. Доказательство теоремы Виета:

Историческая справка. ВИЕТ (Вьет) Франсуа (1540-1603), французский математик.

Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. (Слайд)

(Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, делённому на старший коэффициент, а произведение — свободному члену, делённому на старший коэффициент.
Дано: x₁ и х₂ - корни уравнения ах² + вх + с = 0. Доказать, что числа xi и х₂, а, в и с связаны
( равенствами: x₁ + х₂ = - в:а ; x₁ • х₂ = с:а)

Докажем теорему для приведённого квадратного уравнения: а=1 следовательно,

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с
противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Дано: x₁ и х₂ - корни уравнения х² + рх + q = 0. Доказать, что числа x₁ и х₂, р и q связаны
равенствами: x₁ + х₂ =-р; x₁∙ х₂ = q.

Доказательство:

1. Запишем формулы корней приведенного квадратного уравнения :

2. Найти сумму корней:

1. Найти произведение корней:

4. Сделай вывод. Для всех ли приведенных квадратных уравнений справедлива эта теорема. (Если есть корни)

VI. Закрепление.

В.В. Маяковский «Если звёзды зажигают, значит, это кому-нибудь надо».

Зачем же нужна теорема Виета? С её помощью можно:

• Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его;

• Зная один корень, найти другой;

• Подобрать корни уравнения, не решая его.

«Мозаика» Восстановите фрагмент мозаики. Для этого решите задание и раскрасьте элементы мозаики, содержащие правильные ответы. Каждый ответ нужно раскрасить столько раз, сколько он встречается в узоре.

Задание. Чему равна сумма и произведение корней данного уравнения: х²+5х+8=0. x₁+x₂= -5; x₁∙x₂=8.

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу

Сумма корней равна минус р

Произведение q

VII. Этап перехода к обратной теореме.

1. Подбери корни уравнения х - 2х - 8 = 0 не решая его: x₁ = 4, х₂ = -2. Проверь, будут ли полученные числа корнями данного уравнения: 4 + (-2) = 2, р = -2; 4-(-2) = -8, q = -8.

1. Теорема обратная теореме Виета: Слайд.

VIII. Решение уравнений.

1). Найди подбором корни уравнения и проверь себя:

а) х² - 2009х + 2008 = 0, х₁ = 2008, х₂ = 1.

б) х² - 2006х - 2007 = 0, x₁ = 2007, х₂ = -1.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

IX. Итог урока (рефлексивно-оценочная часть)

• Какая задача стояла перед нами в начале урока?

• Можно ли считать, что мы её решили?

• Какую теорему, мы открыли?

• Я хочу рассказать вам притчу о Шартрском соборе.

Давным-давно во французском городе Шартре строили большой собор. Троим рабочим, подвозившим на тачках строительный материал, задали один и тот же вопрос: Что вы делаете?

• Первый ответил сквозь плотно стиснутые зубы: «Таскаю тяжёлые тачки с этим проклятым камнем. Вот какие мозоли набил на руках!»

• Второй произнёс добродушно: «Что делаю, зарабатываю на кусок хлеба своей жене и двум дочуркам».

• А третий распрямился, отёр с лица капли пота, широко улыбнулся и сказал: «Я строю Шартрский собор!»

Как ты понимаешь эту притчу? Отметь как ты сегодня работал на уроке?

X. Домашнее задание (на выбор).

Расшифруйте «Индейское письмо».

Индивидуальный лист обучения.
Ф.И. ученика____________________________________________Класс_____________________

Тема:_____________________________________________________________________________

I. a) По какому признаку разбили уравнения на группы?

б) Заполни пропуски: Квадратное уравнение называется приведенным, если______.

Дискриминант находится по формуле D = .

II. а) Запишите чему равны коэффициенты р; q и найдите сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения:

б) Сравни сумму и произведение с коэффициентами р и q. Сделай вывод:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

III. Теорема 1. Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, делённому на старший коэффициент, а произведение -свободному члену, делённому на старший коэффициент.

Теорема_____________Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна

_____________________коэфффициенту,_______________________________________________, а произведение________________________________________________________

Дано: х₁ и х₂ - корни уравнения х² + рх + q = 0. Доказать, что числа х₁ и х₂, р и q связаны равенствами:___________________________________________________

Доказательство:

1. Запиши формулы корней приведённого квадратного уравнения:

2. Найди сумму корней:

_____________________________________________________________________

1. Найди произведение корней:

_________________________________________________________________________________

4. Сделай вывод:

IV. «Мозаика». Восстановите фрагмент мозаики. Для этого решите задание и раскрасьте элементы мозаики, содержащие правильные ответы. Каждый ответ нужно раскрасить столько раз, сколько он встречается в узоре.

Задание. Чему равна сумма и произведение корней данного уравнения: х²+5х+8=0. x₁+x₂=______; x₁∙x₂=______.

V. ТРЕНАЖЁР:

1) Подбери корни уравнения х² - 2х - 8 = 0 не решая его: x₁ = , х₂=

Проверь, будут ли полученные числа корнями данного уравнения:_____________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2) Сформулируй теорему обратную теореме Виета:____________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3) Найди подбором корни уравнения и проверь себя:

а) х² - 2009х + 2008 = 0;______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) 2008 х² - 2007х -1 = 0;_____________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

VI. Оцени своё участие в открытии новых знаний:

Давным-давно во французском городе Шартре строили большой собор. Троим рабочим, подвозившим на тачках строительный материал, задали один и тот же вопрос: Что вы делаете?

• Первый ответил сквозь плотно стиснутые зубы: «Таскаю тяжёлые тачки с этим проклятым камнем. Вот какие мозоли набил на руках!»

• Второй произнёс добродушно: «Что делаю, зарабатываю на кусок хлеба своей жене и двум дочуркам».

• А третий распрямился, отёр с лица капли пота, широко улыбнулся и сказал: «Я строю Шартрский собор!»

Как ты понимаешь эту притчу? Отметь как ты работал на уроке:

1. Домашнее задание. Расшифруй «Индейское письмо».