Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:
Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.
Свойства определенного интеграла.
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
Применение определенного интеграла
к вычислению площадей плоских фигур
Как известно, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла):
.
С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.
Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси или к оси
Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:
По условию задачи делают схематический чертеж.
Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.
Записывают каждую функцию в виде .
Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
1) Площади фигур, расположенных над осью
Пусть на отрезке функция принимает неотрицательные значения, т.е. для любого . Тогда график функции расположен над осью .
Если фигура, расположенная над осью , является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по известной формуле
или ,
где у находится из уравнения кривой.
2) Площади фигур, расположенных полностью или частично над осью
Пусть на отрезке задана неположительная непрерывная функция , т.е. для любого . Тогда график функции расположен под осью .
Если фигура, расположенная под осью , является криволинейной трапецией , то ее площадь вычисляется по известной формуле
или ,
где у находится из уравнения кривой.
Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок на такие части, в каждом из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить. Например, площадь фигуры такова:
3) Площади фигур, прилегающих к оси
Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , прямыми , и осью (рис.8), то ее площадь вычисляется по формуле
4) Симметрично расположенные плоские фигуры
Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив половину площади и затем удвоив результат.