Интеграл и его применение.

«…Природа формулирует свои законы языком математики»

Г. Галилей

Историческая справка

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, т.е. задачами на вычисление площадей. Вычислениями площадей  поверхностей и объемов тел занимались еще математики Древней Греции и Рима. Первым европейским математиком, получившим новые формулы для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном И. Кеплер. После исследований ряда ученых (П.Ферма, Д.Валлиса) И. Барроу открыл связь между задачами отыскания площадей и проведением касательной (т.е. между интегрированием и дифференцированием). Исследование связи между этими операциями, свободное от геометрического языка, было дано И.Ньютоном и Г. Лейбницем.

Современное обозначение интеграла   восходит к Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криволинейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок шириной d и высоты f(x) . Сам знак интеграла является стилизованной латинской буквой S (summa). Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.

Краткая история интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение площадей, а также объемов тел связаны с именем Архимеда(287-212 до н. э.)

Развивая идеи предшественников Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сферах», он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса и цилиндра. Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление.

Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах великого английского математика Иссака Ньютона(1643-1716) и великого немецкого математика Готфрида Лейбница(1646-1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями интегрального исчисления. Они открыли важную теорему, носящую их имя:

где f ( x ) – функция, интегрируемая на отрезке [ a ; b ], F ( x ) – одна из ее первообразных.

Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. В XVIII в. крупнейший представитель математического анализа Леонард Эйлер эти понятия обобщил в своих трудах. Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия интегрального исчисления. Обычно при этом отмечают заслуги французского математика Огюстена Коши и немецкого математика Георга Римана.

Само слово интеграл придумал Я.Бернулли(1690г.). Оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Обозначение определенного интеграла ввел Иосиф Бернулли, а нижние и верхние пределы Леонард Эйлер.

Неопределенный интеграл

Математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня. Дифференцирование дает возможность для заданной функции F (х) находить ее производную F ´ (х). Существует действие, обратное дифференцированию – это интегрирование – нахождение функции F (х) по известной ее производной f(x) = F ´ (х) или дифференциалу f(x)dx .

Функция F (х) называется первообразной для функции f(x) , если F ´ (х) = f(x) или dF(x)=f(x)dx . Если функция f(x) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все ее первообразные содержатся в выражении F (х) +С, где С – постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f(x) (или от выражения f(x)dx ) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение ∫ f(x)dx = F (х) +С. Здесь ∫ – знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

• Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

( ∫ f(x) dx ) ´ = f(x)

• Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d ( ∫ f(x) dx) = f(x) dx

• Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С: ∫ d (F (x)) = F (х) +С
• Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx

• Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ [ f 1 (x) ± f 2 (x)] dx = ∫ [ f 1 (x)] dx ± ∫ [ f 2 (x)] dx

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла выводится через криволинейную трапецию. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями y = f(x), y = 0, x=a, x=b. Площадь криволинейной трапеции выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница.

= F (x) | b a = F(b) – F(a)

Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона – Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

• Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный.
• Если верхняя и нижняя границы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю.
• Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на несколько частей, определенный интеграл на отрезке [a;b] будет равен сумме определенных интегралов этих отрезков.
• Определенный интеграл от суммы функций, заданных на отрезке [a;b] равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций.
• Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла.
• Оценка определенного интеграла: если m ≤ f(x) ≤ M на [a;b] , то

m (b – a)

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и f ( x ) ≥ 0 . Фигура, ограниченная графиком АВ функции y = f ( x ), прямыми x = a , x = b и осью Ох (см. рисунок), называется криволинейной трапецией .

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения отрезка [ a ; b ] на частичные отрезки и выбора количества точек разбиения.

Чем меньше ∆ х , тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы.

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Здесь могут представиться следующие случаи: 1) данный интеграл берется непосредственно по формуле соответствующего табличного интеграла; 2) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применением свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

2. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

• х = φ ( t) , где φ ( t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t . Формула замены переменной в этом случае имеет вид ∫ f(x) = ∫ f [ φ ( t)] φ΄ ( t) d(t) ;
• 2) u = ψ (x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: ∫ f [ ψ (х )] ψ ΄ (х ) d( х ) = ∫ f (u) du

3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ∫ udv = uv - ∫ v du , где u = φ ( x), v = ψ (х ) – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫ udv сводится к отысканию другого интеграла ∫ v du ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.

Таблица неопределенных интегралов

Повторение теоретического материала

Как найти площади изображенных фигур?

Продолжаем повторять

Применение интеграла

Величины

Соотношение в дифференциалах

А – работа

F – сила

N - мощность

Вычисление производной

dA = F ( x) dx

Вычисление интеграла

dA = N (t)dt

m – масса тонкого стержня

р – линейная плотность

dm = p (x) dx

q – электрический заряд

I – сила тока

s - перемещение

v - скорость

dq = I (t) dt

Q – количество теплоты

t - теплоемкость

ds = v (t) dt

dQ = с ( t ) dt

Кроме этого определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг кривых.

Вычисление объемов тел

Пусть задано тело объемом V , причем имеется такая прямая, что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b ]) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b ] задана функция S ( x ). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b ] то справедлива формула:

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

Найдите площадь изображенных фигур 1 – 5.

Ответы:

1) S = 2/3 (четность функции); 2) S = 1 (площадь прямоугольного треугольника);

3) S = 4 (равенство фигур); 4) S = 2 π (площадь полукруга) ; 5) S = 1 (площадь треугольника).

Найди ошибку!

Интересная задача!

Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках. (Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Ответ: sin nx=0 ; x= π /n; где n=1,2,4,8,16…;

S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4

Ответ: 4.

Программированный контроль

Задания

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Ответы

I вариант

y = x 2 + 2, y = x + 2

II вариант

1

y = - x 2 + 4, y = - x + 4

y = sin 2 x, y =0

x =0, x = π / 4

2

7

y = cos 2 x, y=0

x = - π /4, x = π / 4

y = -2 / х, y = 2

x = - 4, x = -1

1/6

3

y = -1/х, y =1

x = - 3, x = -1

2

2/3

4

-1

6-4ln2

1/3

1/2

2-ln3

1

2ln2

2-3ln2

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 ; II вариант: 2,4,2.

Самостоятельная работа

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций).

1) y = 6 + x – x 2 и y = 6 – 2 x ;

2) y = 2 x 2 и y = x + 1 ;

3) y = 1 – x и y = 3 – 2 x – x 2 ;

4) y = x 2 и y = .

Ответ : 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3 .

Задачи на вычисление объемов

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x 2 + 1, x = 0, x = 1, y = 0 ;

2) y = , x = 1 , x = 4 , y = 0 ;

3) y = 2x , y = x + 3, x = 0 , x = 1 ;

4) y = x + 2 , y = 1 , x = 0 , x = 2 ;

5) у 2 – 4 х = 0, х – 2 = 0, х – 4 = 0, у = 0;

6) у 2 – х + 1 = 0, х – 2 = 0, у = 0;

7) y = - x 2 + 2х, у = 0;

8) у 2 = 2 х, х – 2 = 0, у = 0;

9) y = , x = 3 , y = 0 ;

10) у = 1 – x 2 , у = 0.

Ответ: 1) ; 2) 7,5  ; 3) 11  ; 4) 16 ⅔  ; 5) 24  ;

6)  /2; 7) 16  /15; 8) 4  ; 9) 2  ; 10) 16  /15.

Контрольные вопросы

• Какое действие называется интегрированием?
• Какая функция называется первообразной для функции f(x) ?
• Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x) ?
• Дайте определение неопределенного интеграла.
• Как проверить результат интегрирования?
• Чему равна производная от неопределенного интеграла?
• Чему равен ∫ d(lnx 8 – sin 3x)?
• Перечислите методы интегрирования.
• Дайте определение определенного интеграла.
• Сформулируйте теорему Ньютона – Лейбница.
• Перечислите свойства определенного интеграла.
• Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла (составьте словесный алгоритм)?
• Перечислите области применения интеграла, назовите величины, которые можно вычислить с помощью интеграла.

Для любителей математики

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0 Решение:

Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции , обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и

2) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.

Решение:

Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).

Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение

угловых коэффициентов прямых у=х+1 у=9-х равно -1).

Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC)

не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей

треугольников, у которых известны высота и основание или же

можно использовать координатный метод.

Домашнее задание

Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)

• у=х 2 (х  0), у=1, у=4, х=0
• у= х 2 -4х+8, у=3х 2 -х 3 , если х [-2;3]
• у=х 2 -4х+sin 2 (x/2), y=-3-cos 2 (x/2), если х [2;3]
• у=3х+1, у=9-х, у=х+1
• у=|x-2|,
• x|y|=2;x=1;x=3
• y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
• При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
• Вычислить   исходя из его

геометрического смысла.