Функции и графики

Итоговое повторение курса алгебры 7-9

Функции

и графики

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение). Лейбниц употреблял это слово с 1673 г.

Как термин «функция от x » стало употребляться впервые в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли

Дании́л Берну́лли

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Один из самых замечательных математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя понятие функции, говорил, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

леонард эйлер

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

« Когда математика стала изучать

переменные величины и функции,

как только она научилась

описывать процессы, движение,

так она стала необходима всем».

Ф.Энгельс

Функции вокруг нас

В современный динамично развивающийся мир прочно вошли в обиход различные гаджеты. Мы пользуемся сотовыми телефонами, смартфонами, планшетниками и т.д. Ни одна современная хозяйка не обходится без множества бытовых приборов и разнообразных «помощников». Какой вопрос мы задаем продавцу, когда хотим приобрести новый товар? Мы всегда спрашиваем о его функциях! Что мы имеем в виду? Нам хочется узнать, какие именно действия может совершать тот или иной агрегат. И слово «функция» приобретает в этом случае еще один смысл: «возможности» прибора. А с этими возможностями напрямую связана и цена, и полезность… А здесь уже можно проследить классическое математическое определение функции - зависимость. Если аппарат обладает множеством функций, значит он более функциональный, то есть удобный. (Зависимость: количество возможностей – удобство, количество возможностей – цена).

Первый в жизни график

Функции вокруг нас

Кардиограмма – график работы сердца

«Великий и могучий русский язык…»

Пословицы и поговорки с точки зрения функциональной зависимости

И сокол выше солнца не летает

Бездонную бочку водой не наполнишь

Близок локоть, да не укусишь

В поле ветра не поймаешь

Поперек себя не перепрыгнешь

Поперек батьки в пекло не суйся

солнце

расстояние

«Великий и могучий русский язык…»

Прямая зависимость

Кто много знает, с того много и спрашивается

Каков строитель, такова и обитель

К чему ребенка приучишь, то от него и получишь

Кто много читает, тот много знает

Как аукнется, так и откликнется

Аппетит приходит во время еды

С плохими косцами плох и укос

знания

Обратная зависимость

Количество разговора

Меньше говори, больше делай

Работает – как ребенок, а ест – как детина

В умной беседе ума набраться, а в глупой свой растерять

Худой мир лучше доброй войны

Тише едешь – дальше будешь

Не все то золото, что блестит

дело

Определение функции

у

12

У= f (X)

10

8

6

4

2

0

х

-2

-12

-10

-6

4

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

Какие из данных графиков являются

графиками каких-либо функций?

Область определения функции

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (х) D (х)

Все действительные числа

Все действительные числа

Х+1≠0 ⇒ Х≠-1

2х-6≥0 ⇒ 2х≥6 ⇒ х≥3 или│3;+∞)

Множество значений функции

Множеством значений функции называют множество всех значений которые может принимать переменная у Е(у)

Все действительные числа

у≥0

у≠0

у≥0

Найдите область определения и значений функции

а)

4

б)

в)

5

г)

д)

-3

[ - 3;4)

( -1 ; 5 ]

0 при X ∈ (-3; 7); У при X ∈ ( -5 ;-3) ∪ (7;9) У =0 при X=-3 и X=7 " width="640"

Промежутки, в которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства

У 0 при X ∈ (-3; 7);

У при X ∈ ( -5 ;-3) ∪ (7;9)

У =0 при X=-3 и X=7

Х 1 , то У 2 У 1. -10 " width="640"

Возрастающая функция.

у

у 2

у 1

х 1

х 2

х

0

Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

-10

Х 1 , то У 2 У 1. -10 " width="640"

Убывающая функция.

у

у 1

х 1

х 2

х

0

у 2

Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

-10

Провести исследование функции

Способы задания функции:

1. Формулой (аналитический)

у=2х+3

х

-1

у

1

0

0

1

1

2

3

4

9

2. Табличный

3. Графический

4. Словесный

у

у

у=х-2

у= | х |

0 1 х

0 1 х

у

у

у

0 1 х

0 1 х

0 1 х

Линейные функции.

y = ах + b

Функции прямой пропорциональности.

у = kx

Функции обратной пропорциональности

у = k / x

И все!

Квадратичные функции.

у = ах 2 + bx +c

Выберите описание каждой

математической модели.

Гипербола

у = а

Прямая, параллельная

оси О х

y = kx

y = kx + m

Парабола

y = x 2

Прямая, проходящая через

начало координат

y = 1/x

Прямая

Найдите соответствия:

Какой график

является графиком

функции прямой

пропорциональности?

Найдите соответствия:

1.

3.

2.

4.

Найдите соответствия:

Алгоритм построения графика функции у = ах 2 + b х +с.

1.

Определить направление ветвей параболы.

2.

Провести ось симметрии.

3.

Найти координаты вершины параболы

( m ; n ).

4.

Определить точки пересечения графика

функции с осью О х , т.е. найти нули

функции.

5.

Найти точки пересечения графика функции с осью Оу, подставив в y = ax 2 +bx+c х=0

Составить таблицу значений функции

с учетом оси симметрии параболы. (Найти дополнительные точки)

6.

0) 2. х =1 – ось симметрии параболы. 3. (а = 1; b = -2; с = -3) Найдём координаты вершины параболы n = 1 ² -2 · 1-3 = -4 А(1;-4) – вершина параболы. 4 . у=0, х ² -2х-3 =0 при х=3 и х=-2; 5. х=0, при у=-3 " width="640"

Построить график функции : у = х ² -2х-3

у = х ² -2х-3 – квадратичная функция, графиком является парабола.

1. Ветви направлены вверх (т.к. а=1, а 0)

2.

х =1 – ось симметрии параболы.

3. (а = 1; b = -2; с = -3) Найдём координаты вершины параболы n = 1 ² -2 · 1-3 = -4

А(1;-4) – вершина параболы.

4 . у=0, х ² -2х-3 =0 при х=3 и х=-2;

5. х=0, при у=-3

Построить график функции : у = х ² -2х-3

Нам осталось отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; - соединить их плавной линией.

х

у

-1

0

0

-3

1

-4

2

-3

3

0

У

-4

4

3

-3

2

-2

1

-1

0

-1

у = х ² -2х-3

-2

1

-3

2

-4

3

4

-5

5

6

х

0 – ветви графика расположены в I и III координатных четвертях. 2.Составим таблицу значений для х0 3.Вторую ветвь получаем «отражением» относительно начала координат " width="640"

Учебник № 1030(а).

Построить график функции у=8/х

1.Это график обратной пропорциональности, к0 – ветви графика расположены в I и III координатных четвертях.

2.Составим таблицу значений для х0

3.Вторую ветвь получаем «отражением» относительно начала координат

Ответ:

Решите самостоятельно:

Ответ:

ОГЭ. Математика :

типовые экзаменационные варианты

( из сборника под ред.

И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2016. — 240 с.)

0, c 3) a0, c0 А Б В 3 2 1 " width="640"

Вариант 1. Задание 5. На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx+c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) a0; 2) a0, c 3) a0, c0

А

Б

В

3

2

1

Вариант 3. Задание 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ: А) y = -3x; Б) y = 3x; В) y = -1/3x

А

Б

В

1

2

3

0, b 2) k 3) k0, b0 А Б В 2 3 1 " width="640"

Вариант 5. Задание 5. На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k0, b 2) k 3) k0, b0

А

Б

В

2

3

1

Вариант 7. Задание 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Б)

В)

Функции : А)

т

В)

= -(-7:2) =3,5

т

А )

= -(7:2) =-3,5

А

Б

В

1

2

3

Вариант 17. Задание 5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы: 1)

2)

3)

А

Б

В

1

3

2

Вариант 19. Задание 5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

3)

Формулы: 1)

2)

А

Б

В

2

3

1