Математика. Дробно-линейная функция. График дробно-линейной функции.

Дробно-линейная функция

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой  .

Функция строго убывает на  и на .

Доказательство. Пусть ,  и  одного знака. Тогда . 

Множество значений функции — .

Доказательство. Пусть . Тогда   принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции , называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола  симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример.  — нечетные функции.

Определение. Прямые  и  называются асимптотами равнобочной гиперболы .

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции .

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции  (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из  получаем график функции

Из  получается график функции

Таким образом, график любой функции   является равнобочной гиперболой.

Если , нужно взять  и получить  из .

Если , нужно взять  и получить  из .

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из  получим график функции .

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из  получим 

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

где .

Область определения этой функции .

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь  к виду  :

Нужно взять , , .

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение .

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства  выражается  через .

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.