Попробуйте готовые материалы учителя на каждый урок для работы в классе и дистанционно.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Был в сети 20.09.2023 19:13

Сиволапов Николай Николаевич

учитель математики

56 лет

36 189

485

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, х. Вячеслав

Специализация

Астрономия

Литература

Классному руководителю

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Доклад на МО по теме "Обучение решению задач повышенной сложности"

Категория: Математика

30.11.2021 09:41

Учебник: Математика. 11 класс. (базовый уровень) Мордкович А.Г., Смирнова И.М. (2013, 416с.)

Доклад на заседание методического объединения учителей математики по теме "Обучение решению задач повышенной сложности"

Просмотр содержимого документа
«Доклад на МО по теме "Обучение решению задач повышенной сложности"»

«Обучение умению решать задачи повышенной сложности»

«Хочешь научиться плавать, - смело заходи в воду!

Хочешь научиться решать задачи, - решай их!»

Что значит решить задачу? Решить задачу – значит раскрыть связи между данными и искомым, раскрыть отношения, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем и выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи.

Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ребенка, глубины усвоения им учебного материала.

Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Если деятельность репродуктивная – ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит. Цель такой деятельности – формирование знаний, умений и навыков.

Если деятельность продуктивная – происходит активная работа мышления, связанная с логическими операциями анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения. Задумываясь над основанием собственных умений, ребенок овладевает обобщенными способами действий, лежащими в основе этого умения, и тем самым приобретает знания, которые может конкретизировать при решении целого класса частных задач. В общем случае появлению конкретных знаний предшествует овладение методом получения этих знаний.

В практике работы с одаренными детьми по математике главной задачей является раскрытие принципов действия, решение задачи не только ради точного ответа, но и ради способа его получения, ради логических рассуждений на пути к нему. Для осуществления технологического процесса при данном подходе к обучению необходима строгая логика построения учебного содержания. Для его наполнения мною отбирались специальные задания, которые я могла бы использовать на уроках, в рамках учебного курса математики:

а) решение нестандартных задач ;

б) решение задач с неопределенным условием;

в) усложнение задач;

г) решение геометрических задач повышенной сложности.

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, ее условии и требовании.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика.

Итак, работа над любой задачей начинается со знакомства с её текстом. Но чтобы каждый ученик смог выделить все отношения при первичном анализе задачи, их нужно увидеть.

Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ ее решения.

Речь идет о моделировании как особом общем способе познания и важнейшем учебном действии, являющимся составным элементом учебной деятельности. С одной стороны, моделирование выступает целью обучения, а с другой – средством самостоятельного решения учащимися конкретных математических задач. Учащиеся в процессе особо организованного обучения овладевают действием моделирования, нарабатывая его как способ или даже метод продвижения в системе понятий.

Что понимается под моделированием текстовой задачи?

Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами, действиями, с их уменьшенными образцами: моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т. п. в роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, а их обобщенные заменители (круги, квадраты, отрезки, точки и т. п.) показывая взаимоотношения величин с помощью отрезков с соблюдением масштаба, мы используем чертеж. Если же взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, то мы работаем со схематическим чертежом или схемой графическая наглядность нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий.

Основные принципы такой организации работы с одаренными детьми:

- В ходе использования моделирования нецелесообразно предлагать детям модель в готовом виде. Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования. Существенные признаки и связи, зафиксированные в модели, становятся наглядными для учащихся тогда, когда эти признаки, связи были выделены самими детьми в их собственном действии, т.е. когда они сами участвовали в создании моделей. В противном случае учащиеся не видят их в модели, и она не становится для них наглядной.

- Для того, чтобы учащиеся вышли на новую модель, учитель сначала предлагает им задачу, которую они уже легко решают, используя известный способ и модель. Создав ситуацию успеха, можно предложить детям задачу, которая внешне похожа на предыдущую, но её решение старым способ либо приводит к неудаче, либо нерационально. Ребенок обнаруживает дефицит собственных знаний и понимает, что в такой ситуации, когда у него возникают трудности и известная модель не позволяет ему быстро решить задачу, нужно конструировать новый вид модели. Следовательно, у детей возникает необходимость, что является основой для устойчивой мотивации дальнейшей деятельности.

- Построение модели учащимися обеспечивает наглядность существенных свойств, скрытых связей и отношений, все остальные свойства, несущественные в данном случае, отбрасываются. Часто это не под силу одному ученику, поэтому такую работу целесообразно проводить в группах. Внутри группы дети сами организуют свои действия: либо сначала обсуждают способы решения, а затем каждый самостоятельно пытается выполнить задание, либо сначала каждый пробует выполнить задание, а потом сравнивает свой способ решения со способами других детей. В качестве доказательства правильности решения задачи используется все та же модель. В данном случае она является средством для обоснования точки зрения.

В начальной школе учащиеся вполне могут моделировать логические задачи, задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, графов, уравнений, задачи на измерение величин.

Представляется интересным процесс выполнения схематических рисунков для таких задач:

В двух корзинах 75 яблок. Когда из первой взяли 6, а из второй 9, то в корзинах осталось яблок поровну. Сколько яблок было в каждой корзине?
В двух коробках 22 карандаша. В первой на 2 карандаша больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?

Конечно, выполняя схематический рисунок к первой задаче, большинство учащихся изобразят два отрезка, один из которых будет изображать яблоки в первой корзине, а другой – во второй. Но так как из текста задачи не ясно, в какой корзине яблок больше, то и рисунки могут быть разными:

а) б)

Теперь нужно «взять» 6 яблок из первой корзины и 9 яблок из второй корзины, тогда яблок останется поровну. Вряд ли это условие можно выполнить, если воспользоваться первым схематическим рисунком. Зато, пользуясь вторым рисунком, это можно сделать.

Но процесс выполнения схематического рисунка может быть и другим. Для этого нужно только представить, что из первой корзины уже взяли 6, а из второй 9 яблок и в корзинах яблок поровну.

Теперь из данного схематического рисунка восстановить первоначальную ситуацию:

Соответственно записать различные способы решения задачи:

1)6+9=15(ябл.) 1)75-6=69(ябл.)

2)75-15+60(ябл.) 2)69-9=60(ябл.)

3)60:2=30(ябл.) 3)60:2=30(ябл.)

4)30+6=36(ябл.) 4)30+6=36(ябл.)

5)30+9=39(ябл.) 5)30+9=39(ябл.)

Выполняя схематический рисунок ко второй задаче, можно в качестве ориентира использовать, что в первой коробке на 2 карандаша больше, чем во второй:

Очевидно, если из 22 вычесть 2, то карандашей станет поровну. Таким образом, схематический рисунок помог нам выбрать арифметические действия на вопрос задачи:

1)22-2=20(к.)

2)20:2=10(к.)

3)10+2=12(к.)

Есть такие задачи, которые учащиеся не смогут решить без схематического рисунка. Например:

«В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах?»

Если обозначить одинаковыми отрезками количество пассажиров в каждом вагоне (а по условию их было 36 в каждом) и затем показать на каждом отрезке тех пассажиров, которые вышли из одного и другого вагона, то можно будет легко ответить на, который поставлен в задаче.

Таким образом, необходимо уделить должное внимание формированию у учащихся этого способа действия.

Рассмотрим моделирование на различных видах задач:

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ нужно решать как можно чаще и на уроках, и на внеклассных занятиях.

Приведу для примера несколько нестандартных задач, способы их обсуждения и решения.

Задача №1.Два путешественника подошли к реке. У берега стояла лодка. Лодка вмещала только одного человека. И тем не менее путешественники смогли переправиться в этой лодке через реку и продолжить свой путь. Как это могло произойти?

Эта задача – явно нестандартная. Главное – понять, о чем в ней говорится.

Нужно, чтобы дети нарисовали реку, двух путешественников и лодку у берега, например:

Тогда непонятно, как они могли переправиться на другой берег. Но можно спросить, нельзя ли представить ситуацию как-то иначе. И может возникнуть догадка, что рисунок должен быть таким:

И это не противоречит условию, что путешественники подошли к разным берегам реки. В условии сказано, они подошли к реке. И тогда путешественники смогли сделать то, о чем рассказывается в задаче. Итак, на вопрос задачи: «Как это могло произойти?», ответ должен быть таким: «Это могло произойти в том случае, если путешественники подошли к разным берегам реки».

Задача №2. Учитель показал лист бумаги ученику и спросил: «Сколько здесь точек?» «Семь», - ответил ученик. «Верно», - сказал учитель и передал лист другому ученику: «Сколько здесь точек?» «Пять», - ответил ученик. И учитель снова сказал: «Верно». Сколько точек на этом листе?

Нужно попросить детей проанализировать текст и пересказать его своими словами. Они должны сказать, что в задаче два эпизода. В первом учитель показывает лист бумаги одному ученику и беседует с ним. В другом эпизоде то же происходит с другим учеником и с тем же листом бумаги. Оба раза учитель доволен ответами, так, что не может быть, что ученик не заметил двух лишних точек на той же стороне листа. Он не заметил точек на другой стороне. Это могло быть в двух случаях.

Ответ: либо на одной стороне было 5 точек, а на другой 7, либо на одной стороне было 5 точек, а на другой 2.

Задача №3.В клетке сидят две змеи одинаковой толщины. Одна из них длинная, другая – короткая. Придумайте такой лаз, чтобы короткая змея могла через него выбраться из клетки, а длинная не могла.

Ответ: лаз должен пересекать сам себя, имея форму петли. Тогда короткая змея пролезет через него, а длинная запрет сама себя.

Задача №4. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленнее, чем первая. Которая из мух победит?

Нужно нарисовать первый этап соревнования: первая муха достигает потлка, когда вторая на середине пути; первая возвращается к полу, когда вторая достигает потолка. Побеждает первая. Заметим, что несущественно, во сколько раз быстрее ползет муха вниз, чем первая.

Задача №5. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?

Нарисуем весы с положенной на каждую чашу тысячью монет:

В первом случае фальшивая та монета, которая не попала на весы. Вторым взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты.

Во втором случае берем, например, более легкую тысячу монет и сравниваем вторым взвешиванием её половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи, т. е. фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая монета среди более легкой тысячи, т.е. она легче, чем настоящая.

Задача №6. Девять точек в узлах клеток образуют квадрат. Какое наименьшее число клеток можно к ним добавить, чтобы получился новый квадрат, содержащий имеющиеся точки?

Снова непривычное условие. Надо нарисовать точки, о которых говорится в задаче:

Сразу на ум приходит решение:

Но оно не минимально повернем рисунок так:

И тогда можно догадаться о таком решении:

Ведь в задаче спрашивается, какое число точек наименьшее. А наименьшее – четыре. Это и есть правильный ответ.

ЗАДАЧИ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ УСЛОВИЕМ

Работа над новым материалом.

– Что написано на доске?

А льбом – 28 р.

Карандаши -1/4 76р.

Краски -?

(Краткая запись задачи)

_Восстановите текст задачи и решите её (при этом кто- то обязательно заметит неопределенность условия:1/4 всей суммы, - это стоимости альбома или остатка).

Действительно, неизвестно, карандаши стоят1/4 часть чего? Как же поступить? Да, надо уточнить условие задачи (1/4 от всей суммы, ¼ стоимости альбома или остатка).

Сейчас вы выберите уточнение и будете работать в паре: один записывает вопрос, другой – решение.

Вариант 1.

К уроку рисования Даша купила альбом за 28 рублей, карандаши, за которые отдала ¼ всех денег, и краски. Сколько Даша уплатила за краски, если всего израсходовала 76 рублей.?

Сколько стоят карандаши?

76:4= 19 (р.)

Сколько стоят карандаши и альбом?

28+19=47(р.)

Сколько стоят краски?

76-47=29(р.)

Ответ:29 рублей стоят краски.

Вариант №2.

Мама купила альбом, карандаши, краски и уплатила за всю покупку 76 рублей. За альбом мама отдала 28 рублей, за карандаши уплатила ¼ стоимости альбома. Сколько стоят краски?

Сколько стоят карандаши?

28:4=7 (р.)

Сколько стоят краски и карандаши?

76 – 28 = 48 (р.)

Сколько стоят краски?

48-7 =41 (р.)

Ответ: 41 рубль стоят краски.

– Как проверить правильность решения? (Сложить цены покупок, и в сумме должно получиться 76.)

- У кого получилось правильно? (Если есть ошибки, дети исправляют)

4. – Вы предлагали еще один вариант уточнения задачи: ¼ остатка денег после покупки альбома. Кто хочет решить задачу у доски?

1) 76 - 28 = 48 (р.)

2) 48 : 4 = 12 (р.)

3) 48 – 12 = 36 (р.)

Ответ: 36 рублей стоят краски.

-Проверь правильность( 36+12+28=76)

5. Почему разные ответы в задачах? (Разные условия.)

-Вот как важно быть внимательным при чтении текста задачи и её решении. Данные все одинаковые, но двумя словами отличается условие, и решение отличается, соответственно и ответ другой.

- Выполните чертеж к другой задаче: Два велосипедиста выехали одновременно из одного города. Один велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, другой – 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут велосипедисты через 4 часа? (при решении дети поймут, что не указано направление движения.

- Как могут двигаться велосипедисты? (В одном направлении и в противоположных)

7. – Восстановите задачи по чертежам.

А) Два велосипедиста выехали из города одновременно в одном направлении.

Б) Из города в противоположных направлениях выехали одновременно два велосипедиста…

Решение задачи А:

1 вариант:

19-15=4(км/ч) – на столько больше скорость второго велосипедиста.
4*4=16 (км)- на таком расстоянии велосипедисты будут друг от друга через 4 часа.

2 вариант:

1)15*4=60(км) проедет первый велосипедист за 4 часа.

2)19*4=76(км) – проедет второй велосипедист за 4 часа.

3)76-60=16(км) - на таком расстоянии велосипедисты будут друг от друга через 4 часа.

Решение задачи Б:

1 вариант:

15*4=60(км) - проедет первый велосипедист за 4 часа.
19*4=76(км) – проедет второй велосипедист за 4 часа.
60+76=136(км) – расстояние между велосипедистами через 4 часа.

2 вариант:

19+15=34(км)- скорость удаления велосипедистов друг от друга.
34*4=136(км) – на таком расстоянии будут велосипедисты друг от друга через 4 часа.

УСЛОЖНЕНИЕ ЗАДАЧ.

Надо основательно отработать один тип задачи, а затем постепенно расширять и углублять от простого к сложному.

Первый этап работы над задачей – научить учащихся записывать краткое содержание простых задач. В дальнейшем при решении составных задач, состоящих из разных типов, в основу краткого содержания выношу тот тип, на который нацелен вопрос, например:

Задача: У Кати было 100 рублей. Она купила книгу за 76 рублей. На остальные деньги решила купить тетради, по 3 рубля за каждую. Сколько тетрадей она может купить?

Краткое содержание:

Цена Количество Стоимость

3р. ? (100-76)р.

Задача: У Вити было 4 монеты по 10 к. Он купил 2 закладки по 17 за каждую. Сколько сдачи он получил?

Краткое содержание:

Было – (10*4) к.

Истратил – (17*2)к.

Осталось -?

В каждую тетрадь по математике ученик вкладывает черновик. Сначала дети работают в черновика, составляют краткое содержание задачи, либо зачерчивают схему.

Затем учу проверять решение задачи. Для этого на черновиках в кратком содержании, где уже отражены все результаты вычислений, зачеркиваем одно из исходящих данных и ставим на его месте вопрос. По этому краткому содержанию учащиеся составляют задачу, обратную данной, и решают её. Исходные данные подтверждаются, значит первая задача решена правильно. Таки же образом учащиеся составляют еще одну задачу, обратную данной. Решают её и делают выводы. Такая работа способствует более глубокому пониманию исходной задачи, развивает речь учащихся, но галавное без особого труда знакомит с новым видом задач, напрмер:

Краткая запись

Было – 10м.

Уехало – 6м.

Осталось -?

Обратные ей задачи – это задачи нового вида:

Было – ?м. Было -10м.

Уехало – 6м. Уехало - ?м.

Осталось – 4м. Осталось -4м.

Затем эти задачи усложняем, чтобы они решались в два действия, например так:

Было – 10 м.груз. и 2м.легк.

Уехало – 6м.

Осталось - ?

Было – 12м.

Уехало – 6м. легк. и 2 м. груз.

Осталось - ?

Эти задачи мы также решаем с проверкой, составляя и решая задачи, обратные исходным. Следовательно, все время идет закрепление всех видов задач сразу.

Далее эти виды задач еще усложняем:

Было – 2 ряда по 5м. в каждом Было – 40м.

Уехало – 7м. Уехало – 2ряда по 6 машин в каждом

Осталось -? Осталось - ?

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ повышенной сложности с использованием подвижных моделей.

Рассмотрим несколько примеров:

1) Подвижные геометрические фигуры .

2)Нахождение площади прямоугольного треугольника.

3)Определение площади многоугольника разными способами.

(просмотр фрагментов уроков на слайдах)

Итак, работая с нестандартной задачей, я выделяю следующие этапы:

I этап.