Дистанционное занятие по теме: Логарифм. Логарифм числа. Свойства логарифмов.

Задания для студентов ОГБПОУ Ивановский педагогический колледж на период обучения с применением электронных и дистанционных технологий

Почта: mari5379@mail.ru , задание отправлять в текстовом редакторе Word (вставить фото в текстовый редактор)

Задание с

Преподаватель: Родионова М.В

Специальность:

44.02.05 Коррекционная педагогика в начальном образовании

Группа: 1 К

Учебная дисциплина: ОУДб.04 Математика

Тема : Логарифм. Логарифм числа. Свойства логарифмов.

Цели:

• рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;

• дать понятие десятичного и натурального логарифма;

• овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

• продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;

• научить определять логарифм числа и его свойства;

• вычислять значения несложных логарифмических выражений.

В результате обучающийся должен уметь:

• находить значения логарифма;

• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов,

Теоретический материал и источники информации для выполнения заданий

Логарифмом числа b по основанию a ( b 0, a 0, a=1 ) называют показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b.

log_ab=x означает, что a^x=b.

основное логарифмическое тождество имеет вид:

_{ }

При 

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

1. Определение логарифма: _{ }

2. Основное логарифмическое свойство: _{ }.

3. Десятичный логарифм (по основанию 10): _{ }

4. Натуральный логарифм (по основанию _{ }): _{ }.

5. Свойства логарифмов:

1. _{ }

2. _{ }

3. _{ }

4. _{ }

5. _{ }

6. _{ }

7. _{ } – переход к новому основанию.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);

2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются.

Примеры:

Задача. Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;

2. 

3. 

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a  0, a ≠ 1, x  0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, нельзя забывать, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого, что c  0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию.

Пример. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Пример. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log_a aⁿ

2. _{ }

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула —называется: основное логарифмическое тождество.

Пример. Найдите значение выражения:

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

1. _{ } - это логарифмическая единица. Логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.

2. _{ }— это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 — это прямое следствие из определения.

Можно посмотреть видео урок.

https://www.berdov.com/docs/

Методические рекомендации к практическому занятию:

Изучить основные формулы, алгоритм решения различных задач по данной теме, используя учебник , справочный материал, интернет ресурсы и теоретический материал;

Порядок выполнения работы:

1. Изучить теоретический материал по теме «Логарифмы. Свойства логарифмов».

2. Рассмотреть примеры решения типовых заданий, повторить свойство степеней и корней, использовать таблицу квадратов.

3. Выполнить и оформить самостоятельную работу в тетради для самостоятельных работ записать подробное решение, с применением свойств логарифмов в тетрадь

4. Отправить на почту

mari5379@mail.ru , задание отправлять в текстовом редакторе Word (вставить фото в текстовый редактор)

Рассмотрим примеры выполнения заданий.

Вариант 0

На «3»

1. Вычислите: _{ } ; _{ };

_{   }

2. Вычислите: _{ };

На «4»

3. Вычислить: _{ };

_{ }

_{ }; _{ }

_{ } =_{ };

На «5»

4. Вычислить:

_{ };

Критерии оценивания работы:

На «3»:

1) _{ } Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем

_{ } Найдите значение выражения.

На «4»:

2) _{ }Найдите значение выражения;

На «5»:

3) Найдите значение выражения.

Контрольные вопросы:

1. Определение логарифма.

2. Перечислите основные свойства логарифма.

3. Формулы сокращенного умножения.

Вариант для самостоятельной работы:

Вариант 1

На «3»

1. Вычислите: _{ }; _{     }

2. Вычислите: _{ }; _{ }

На «4»

3. Вычислить: _{ }; _{ };

_{ }; _{ } ; _{ }

На «5»

4. Вычислить: _{ }; _{ }

Рекомендуемые источники информации:

1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). Мордкович А.Г. М.: Мнемозина, 2005 стр.287-325 теория по логарифмам (учебник в библиотеке можно взять)

2. Кочеткова И.А. Математика. Практикум [Электронный ресурс]: учебное пособие/— Электрон. текстовые данные Кочеткова И.А., Тимошко Ж.И., Селезень С.Л. Минск: Республиканский институт профессионального образования (РИПО), 2018.— 505 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/84874.html.— ЭБС «IPRbooks

Дополнительные источники:

1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа. М.:ИЛЕКСА, 2015. – 208 с.

2. Роганин А.Н., Лысикова И.В. Математика в схемах и таблицах. М.: ЭКСМО, 2015. – 256 с.

Интернет-ресурсы

1. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов.

2. www.fcior.edu.ru – Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов.

1. Интернет-урок: официальный сайт: https://interneturok.ru/

2. Канал инфоурок: https://www.youtube.com/user/upiterra/videos

3. Электронная библиотека для вузов и ссузов Юрайт: официальный сайт https://biblio-online.ru/

4. Российская электронная школа: официальный сайт: https://resh.edu.ru/

5. Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: официальный сайт: www.iprbookshop.ru.

6. Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

7. Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177