Дифференцирование показательной и логарифмической функции
Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование
1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"
Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.
Построим для различных оснований а графики:
1. y = 2 x
3. y = 10 x
2. y = 3 x
(2 вариант)
(1 вариант)
1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);
2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0
при х ∞;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.
Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол , который образует касательная с осью х
С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.
Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.
График и свойства функции y = е x :
1) D (f) = ( - ∞; + ∞ );
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = ( 0; + ∞ );
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Функцию y = е x называют экспонентой .
В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :
(e x ) = e x
(е 5х )' = 5е 5х
(е х-3 )' = е х-3
(е -4х+1 )' = -4е -4х-1
Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.
Решение:
1) =1
2) f( )=f(1)=e
3)
4) y=e+e(x-1); y = ex
y=ex
Ответ:
Пример 2 .
Вычислить значение производной функции в точке x = 3.
Решение:
Ответ:
4
Пример 3 .
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
1)
2)
х=0 и х=-2
3)
-
+
+
x
0
-2
4)
х = -2 – точка максимума
х = 0 – точка минимума
Ответ:
Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).
График и свойства функции y = ln x
Свойства функции y = ln x:
1) D (f) = ( 0; + ∞);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на ( 0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = ( - ∞; + ∞ );
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.
0 справедлива формула дифференцирования " width="640"
В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования
Пример 4:
Вычислить значение производной функции в точке x = -1.
Решение:
Ответ: 1,5
Дифференцирование функции
Например:
Дифференцирование функции
Интернет-ресурсы:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://pptcloud.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html