Деление многочленов

Тема: Деление многочленов

Любой многочлен P( x ), содержащий только переменную х и ее натуральные степени, можно записать в стандартном виде

P( x ) = a 0 x n +a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n

где a 0 ,a 1 …… a n – 1 , a n – некоторые действительные числа.

Если а 0  0, то многочлен P(x) называют многочленом n – ой степени (или степени n), член a 0 x n старшим членом, a n – свободным членом.

P(x) = а 0, где а 0  0, называют многочленом нулевой степени. Число 0 называют нулевым многочленом.

В результате сложения, вычитания и умножения многочленов получаются многочлены. Особое место в теории многочленов занимает деление многочленов уголком.

Разделить уголком многочлен P( x ) = 10 x 2  7 х  12 на Q( x ) = 5 х +4

5 х +4

10 x 2  7 х  12

ДЕЛИМОЕ

ДЕЛИТЕЛЬ



10 x 2 +8 х

2 х  3

 15 х  12

ЧАСТНОЕ

ПЕРВЫЙ ОСТАТОК



 15 х  12

0

ОСТАТОК

Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)

Пример 1 : Разделить многочлен P( x ) = 3 x 4 + 2 x 2 – 1 на многочлен Q( x ) = x 2 + x .

3 x 4 + 2 x 2 – 1

x 2 + x



3 x 4 + 3 x 3

3 x 2 – 3 х + 5

– 3 x 3 + 2 х 2 – 1



– 3 x 3 – 3 x 2

5 x 2 – 1



5 x 2 + 5 x

– 5 x – 1

Степень остатка – 5 x – 1 меньше степени делителя x 2 + x, деление закончено.

Ответ: 3 x 2 – 3 х + 5  частное, – 5 x – 1  остаток.

1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство: P( x ) = M( x )  Q( x ) + R( x ) где M( x ) – частное, степень которого m = n – k , R( x ) – остаток , степень которого l " width="640"

Формула деления многочленов с остатком

Если многочлен P(x) степени n 1 делят на многочлен Q(x) степени k  1,k  n то справедливо равенство:

P( x ) = M( x )  Q( x ) + R( x )

где M( x ) – частное, степень которого m = n – k , R( x ) – остаток , степень которого l

Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) нужно:

• Расположить делимое и делитель по убывающим степеням х ;

2. Разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. Первый член частного умножить на делитель; результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.



Пример 2 : Разделить многочлен 3 х + 4 x 4 + 1 – 15 х 3 + 2 х 5 – 9 x 2 на многочлен 2 x 2  х 3

2 х 5 + 4 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1

 х 3 + 2 x 2



2 х 5 – 4 x 4

– 2 х 2 – 8 х – 1

– 8 x 4 – 15 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1



8 x 4 – 16 х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1

– х 3 – 9 x 2 + 3 х + 1



– х 3 – 2 x 2

– 7 x 2 + 3 х + 1

Ответ: – 2 х 2 – 8 х – 1  частное, – 7 x 2 + 3 х + 1  остаток.

Свойства делимости многочленов

1. Если многочлен P( x ) делится на многочлен Q( x ), а многочлен Q( x ) делится на многочлен M( x ) , то многочлен P( x ) делитcя на многочлен M( x ) .

2. Если многочлены P( x ) и Q( x ) делятся на многочлен M( x ), то многочлены P( x ) + Q( x ) и P( x )  Q( x )

делятся на многочлен M( x ),

а многочлен P( x )  Q( x ) делится на многочлен M 2 ( x ) .

Найдите частное:

• ( x 2 +3 х  4):( х + 4)
• ( x 2  7 х + 10):( х  5)
• (6 x 3 +7 х 2  6 х + 1):(3 х  1)
• (4 x 3  5 х 2 + 6 х + 9):(4 х + 3)
• (15 x 3  х 2 + 8 х  4):(3 х 2 + х + 2)
• (9 х 4  9 x 3  х 2 + 3 х  2):(3 х 2  2х + 1)

Ответы:

• х  1
• х  2
• 2 х 2 + 3 х  1
• х 2  2 х + 3
• 5 х  2
• 3 х 2  х  2