Четырехугольники
Четырехугольники
Невыпуклые
Выпуклые
Трапеция
Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник
Квадрат
Четырехугольники
C
ABCD – четырехугольник
A , B , C , D – вершины
A и B , C и D – соседние вершины (вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из его сторон)
A и C , B и D – противолежащие вершины (вершины, не являющиеся соседними)
AC и BD – диагонали (Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника)
B
D
A
C
AB, BC, CD, DA – стороны
AB и AD, CB и CD – соседние (стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины)
BC и AD, AB и CD – противолежащие(стороны, не имеющие общего конца)
B
D
A
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
B
C
а
b
A
D
c
d
ABCD – параллелограмм
AB II CD
AD II BC
∟ABO=∟COD (Внутренние накрестлежащие при прямых AB и CD и секущей BD ) = AB II CD D A 2) Аналогично доказывается, что ∆ BOC = ∆ DOA = ∟BCO=∟DAO (внутренние накрестлежащие при прямых BO и AD и секущей AC) = BC II AD 3 ) AB II CD BC II AD = ABCD является параллелограммом. Ч.т.д. " width="640"
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
C
B
Дано: ABCD –четырехугольник, AO=OC, BO=OD, AC BO=O
Д-ать: ABCD – параллелограмм
Д-во: 1) BO=OD (по усл.)
AO=OC (по усл.)
∟ AOB=∟COD (верт.)
O
По I признаку ∆ AOB = ∆COD = ∟ABO=∟COD (Внутренние накрестлежащие при прямых AB и CD и секущей BD ) = AB II CD
D
A
2) Аналогично доказывается, что ∆ BOC = ∆ DOA = ∟BCO=∟DAO (внутренние накрестлежащие при прямых BO и AD и секущей AC) = BC II AD
3 ) AB II CD
BC II AD
= ABCD является параллелограммом. Ч.т.д.
ABC 1 D - параллелограмм = BC 1 II AD D A = противоречие ( через т. B проходят 2 прямые параллельные AD ) = AC BD=O AO=OC, BO=OD Ч.т.д. AC 1 II AD BD II AD ( по усл.) " width="640"
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
C 1
Дано: ABCD – параллелограмм, AC и BD – диагонали
Д-ать: AC BD=O, AO=OC, BO=OD
Д-во: 1) BD, BO=OD
2) AO, отложим OC 1 =OA
3) BO=OD
AO=OC 1
B
C
O
=ABC 1 D - параллелограмм = BC 1 II AD
D
A
= противоречие ( через т. B проходят 2 прямые параллельные AD ) = AC BD=O
AO=OC, BO=OD Ч.т.д.
AC 1 II AD
BD II AD ( по усл.)
AB=DC Аналогично доказывается равенство ∆ BOC= ∆ DOA = AB=DC A D По III признаку ∆ ABC= ∆ CDA = ∟ B= ∟ D Аналогично доказывается равенство ∆ BAD= ∆ CDB = ∟ A= ∟ C 2) AB=CD (по доказанному) BC=AD (по доказанному) AC - общая 3) AB=CD, AD=BC, ∟B=∟D, ∟A=∟C Ч.т.д. " width="640"
У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
С
B
Дано: ABCD – параллелограмм
Д-ать: AD=BC, AB=CD, ∟A=∟C∟B=∟D
Д-во: 1) AO=OC (свойство диагоналей пар-ма)
BO=OD (по свойству диагоналей пар-ма)
∟ AOB= ∟ COD (вертикальные)
O
- По I признаку ∆AOB=∆DOC = AB=DC
Аналогично доказывается равенство ∆ BOC= ∆ DOA = AB=DC
A
D
- По III признаку ∆ ABC= ∆ CDA = ∟ B= ∟ D
Аналогично доказывается равенство ∆ BAD= ∆ CDB = ∟ A= ∟ C
2) AB=CD (по доказанному)
BC=AD (по доказанному)
AC - общая
3) AB=CD, AD=BC, ∟B=∟D, ∟A=∟C Ч.т.д.
По I признаку BAD = CDA = BD = AC Ч. т. д. D A " width="640"
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны.
B
C
Дано: ABCD – прямоугольник,
AC и BD – диагонали
Д-ать: AC = BD
Доказательство:
AD – общая
AB = CD( по свойству пар-ма)
∟ BAD = ∟ CDA = 90˚
О
=По I признаку BAD = CDA = BD = AC
Ч. т. д.
D
A
AO – медиана = биссектриса и высота = AO BD = AC BD , AO – биссектриса A и C D 2) ABC – равнобедренный = B = BD – биссектриса B и D Ч.т.д. " width="640"
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов .
B
Дано: ABCD – ромб, AC и BD - диагонали
Доказать: AC BD, AC – биссектриса A и C, BD – биссектриса угла B и D
Доказательство:
1) Рассмотрим ABD и ABD – равнобедренный ( AD = AB т. к. ABCD – ромб)
О
A
C
=AO – медиана = биссектриса и высота = AO BD = AC BD , AO – биссектриса A и C
D
2) ABC – равнобедренный = B = BD – биссектриса B и D Ч.т.д.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны
C
B
О
D
A
- У квадрата все углы прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
В
К
М
А
С
BK=KA, BM=MC
KM – средняя линия
a=KD = KD|| AC 2) Проведем прямую DF||AB, по т.Фалеса AF=FC K D a C A F 3) KD AC DF AB =ACDF – параллелограмм = AF=KD 4) AF=FC AF=KC = KD= ½ AC ч.т.д. " width="640"
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
B
Дано: ∆ ABC, KD – средняя линия
Д-ать: KD || AC, KD= ½AC
Д-во: 1) Проведем прямую a ||AC, D принадлежит a, KD – средняя линия BD=DC, по т . Фалеса BK=KA = a=KD = KD|| AC
2) Проведем прямую DF||AB, по т.Фалеса AF=FC
K
D
a
C
A
F
3) KD AC
DF AB
=ACDF – параллелограмм = AF=KD
4) AF=FC
AF=KC
= KD= ½ AC ч.т.д.