Практикум
Приемы и методы решения
задач по теории вероятности
Готовимся к ОГЭ
Алтухова Лариса Николаевна,
учитель математики
Верхне-Гуторовский филиал
МБОУ «Полевской лицей»
Цель: Обобщение, систематизация знаний и развитие
навыков решения заданий на вероятность.
Задачи:
Главная задача - дать представление о том, какие задания
могут быть в вариантах ОГЭ и ЕГЭ по теории вероятности.
Помочь выпускникам сориентироваться при подготовке к
экзамену.
Развивать умения и навыки анализа задания и выделять: событие, общее число испытаний, благоприятный исход, вероятность.
Обеспечить усвоение определения вероятности и научить
применять его в различных приёмах решения задач.
3
Вероятность
есть число,
характеризующее
возможность
наступления события.
Случай , который приводит к наступлению
события А , называется благоприятным
(или благоприятствующим ) ему.
называется
Вероятностью p события А
числа m случаев,
отношение ,
событию
благоприятных этому
испытанию
варианту
искомому
случаю
событию
к общему числу n случаев.
m
Сначала Ваш ответ
―
p( A ) =
n
Задачи
1.Игральный кубик (кость) бросили один раз. Найдите
вероятность того, что выпавшее количество очков
чётное.
m
n
p( A )
3
0,5
6
2. На экзамен по математике всего 20 билетов, в 13
из них встречается вопрос по производной. Найдите
вероятность того, что в выбранном билете не будет
вопроса по производной.
7
20
0,35
Событие ( А ) {выбор № карточки}
3.На карточках написаны номера от 4 до 35. Какова
вероятность того, что случайно выбранная карточка
будет иметь номер делящийся на 5 ( округлите до сотых )
32
Нет карточек №
1,
3
2,
Всего исходов ( n )
→
Как рассуждали ?
трёх
7
32
0,22
→ m = 7
Благоприятный исход
Номера, делящиеся на 5
5,
10,
15,
20,
25,
30,
35
4
4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок
приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.
Результат округлите до сотых.
Событие ( А ) { выпуск сумок }
Находим отношение
По условию
{ качественные }
количества качественных - m
в среднем выпускают
+
{ качественные }
{ брак }
на 180 качественных
180
0,99
2 с дефектами
к общему
количеству- n
≈ 0,98901…
182
То есть - всего
180 + 2 = 182
Округляем до сотых
Проследите
Закрепляем
Сначала Ваш ответ
5. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу,
4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно
выбранный для контроля насос не подтекает.
благоприятных
не подтекают - m :
Проверить решение
Событие ( А )- { выбор насоса }
ответ
0,992
подтекают
ИЗ ( n =500)
500 – 4 = 496
4
Сравните условия
496 : 500
Вероятность
= 0,992
p( A )=
Вывод
Закрепление
Сначала Ваш ответ.
5
6.В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 19 из России, 14 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
n = 50
Проверить решение № 6
Событие ( А ) { выбор гимнастки Китая }
Всего
ответ
0,34
США
19+14 = 33
России и
Спортсменок
50 -33 = 17
Благоприятных исходов m
Китая
спортсменок
17 : 50
первой выступит
Вероятность, что
7. На семинар приехали 3 учёных из Норвегии, 3 из России и 4 из
Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Событие ( А ) { выбор докладчика из России }
Проверить решение № 7
3+3+4 = 10
ответ
Всего учёных (докладов - n )
0,3
3
благоприятных исходов ( m )
Событию ( А )-
3 :10
Вероятность выступления р( А )
(неважно, под каким номером выступление)
Сначала Ваш ответ .
6
8. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75
докладов – первые три дня по 15 докладов, остальные распределены
поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определён
жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется
запланированным на последний день конференции ?
ответ
0,2
Событие ( А )
прядок докладов
Решение задачи № 8
5-й день
р ( А )
{ доклад М. на последний день }
определяется из
докладов
15
―
n
75 докладов
15
- это
благоприятствующих исходов
75
9. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия.
Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10
участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо частни-
ком из России ?
0,36
ответ
Орлову, очевидно,
Решение задачи № 9
Событие ( А )
из 10
р ( А )
с собой не играть !
{ выбор в пару Орлову из России }
россиян
9
То, всего исходов
―
благоприятствующих исходов
m = 9
25
n
- это
26 - 1= 25
Задачи экспериментальные
Бросание монет и игральной кости (кубика)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Всё равно, что
•
•
•
•
•
ИЛИ
из 6 исходов
по 6 случаев
каждому
8
Но сначала Ваш ответ
0,14
36
5
n
m
p( A )
10 .Одновременно бросают два кубика. Определите,
Какова вероятность того, что сумма выпавших очков
на двух кубиках равна 8 (ответ округлите до сотых).
•
•
•
•
•
•
•
•
•
{ СУММЫ очков 8 }
Событие ( А )
Решение задачи № 10
Возможные случаи
Благоприятных
Кубик I
Кубик II
очков 1
6 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 ,
1 ,
случаев - суммы очков 8 - m
– – – – – –
2
– – – – – –
– –
( 2 , 6 )
р( А )
(4,4)
( 3 , 5 )
6
– – – – – –
5
: 36
36
( 6 , 2 )
Всего
случаев - n
( 5 , 3 )
11. В случайном эксперименте дважды бросают
игральную кость. Найдите вероятность того,
что сумма выпавших очков будет равной 5. Результат округлите до сотых.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Сравни
условия
•
•
•
•
•
•
•
•
p( A )=0,11
p( A )
{ СУММЫ очков 5 }
Событие ( А )
Решение задачи № 11
Условие:
36 - n
одну кость
бросить 2 раза
Всего событий:
это , всё равно, что
каждому числу одной кости
ОДИН раз
может быть с 1 по 6 - другой
бросить ДВЕ игральные кости !!!
Благоприятных
2
m = 4
1
4
событий - суммы по 5 :
2
4
3
1
3
|
9
Закрепим приём решения
Сначала Ваш ответ.
12 .Какова вероятность выпадения герба подряд два раза при троекратном подбрасывании монеты?
p( A )=0,375
p( A )
Решение задачи № 12
Все возможные случаи:
Г – герб,
Ц– цифра
всё равно, что
один раз
Ц
Г
Г
Г
Ц
Ц
Г
Г
Г
подбрасываются
n = 8
Ц
Ц
Г
Ц
Г
Г
три монеты
m = 3
Ц
Ц
Г
Ц
Ц
Ц
Ц
Г
Г
благоприятные
Возможные случаи
Ещё вариант предъявления решения задачи № 12
m = 3
ГГГ ГЦГ ГЦЦ ЦГГ ЦЦГ ЦЦЦ ЦГЦ ГГЦ
n = 8
благоприятные
8
10
закрепление
Решить самостоятельно
15. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Найдите вероятность того, что выпало число очков больше, чем 3.
Проверьте себя, решив задачу
Событие ( А ) { число очков больше, чем 3 }
Всего исходов: n = 6
Благоприятных исходов m = 3 ( 4, 5, 6 )
Вероятность 3 : 6 = 0,5
16. Монету подбросили два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпал орёл.
Проверьте себя, решив задачу
Событие ( А ) { орёл выпал ДВА раза }
Всего исходов: n = 4
Благоприятных исходов m = 1 ( О, О, )
Вероятность 1 : 4 = 0,25
11
Самостоятельно
18
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел
выпадет ровно один раз. 0.5
ИЛИ
Ваши ответы
19
В случайном эксперименте
симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орел
не выпадет ни разу. 0.125
20
Всего исходов ( n )
16
№ 20 и 21
(решение – СЛАЙД 12,13 )
В случайном эксперименте
симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орел
не выпадет ни разу. 0.0625
· 2
· 2
· 2
2
6 ³
1
(РРР)
Благоприятных ( m )
21
В случайном эксперименте
Игральную кость бросают три раза.
Найдите вероятность того, что
в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. 0,01
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Всё равно, что
•
•
•
•
•
К слайду 11 ( 20 )
12
20
Монета Бросок
В случайном эксперименте
симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орел
не выпадет ни разу. 0.0625
Событие ( А )
{ орёл не выпадет ни разу }
Всего исходов ( n )…
Благоприятных ( m )…
о
ЧЕТЫРЕ
ТРИ
монеты
монеты
о
р
ДВЕ
монеты
Эврика!!!
о
р
ОДНА
р
монета
По этой схеме
о
о
р
о
легко выбрать любые
о
р
р
о
р
о
о
р
ИЛИ
о
о
р
р
р
благоприятные - 1
о
р
о
р
16
исходов
о
р
8
4
исхода
исходов
2
исхода
р
2 ⁴
2 ³
2
2 ²
Внимание !
(см. по стрелкам)
Составьте свою задачу и решите
Попробуйте
из 6 исходов
по 6 случаев
каждому
13
К слайду 11 ( 21 )
21
В случайном эксперименте
Игральную кость бросают три раза.
Найдите вероятность того, что
в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. 0,01
Кубик Бросок
Событие ( А )
{ СУММЫ очков 4 }
216
Всего
cлучаев
36 · 6
6 ³
Возможные случаи
Кубик I
Кубик II
Кубик III
очков 1
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
5 ,
1 ,
2 ,
6 ,
4 ,
3 ,
– – – – – –
2
– – – – – –
– –
―
3
– – – – – –
6
36
cлучаев
216
3
( 1 ; 1 ; 2 )
( 1 ; 2 ; 1 )
( 2 ; 1 ; 1 )
Благоприятных:
Попробуйте
Составьте свою задачу и решите
14
КЛЮЧ ОТВЕТОВ к заданиям файла - приложения
(стр. 1)
1- 0,2 ; 2 - 0,6 ; 3 - 0,3 ; 4 - 0,2 ; 5 - 0,36 ; 6 - 0,9 ; 7- 0,14 ; 8 - 0,5 ;
9 - 0,25 ; 10 - 0,955 ; 11 - 0,92 ; 12 - 0,36 ; 13 - 0,3
(стр. 2) В10. Задания из открытого банка - на ПРОТОТИПАХ
(каждого вида по 47, отличающихся числовыми параметрами)
1 - 0,99 ; 2 - 0,992 ; 3 - 0,0625 ; 4 - 0,03 ; 5 - 0,46 ; 6 - 0,99 ; 7- 0,96 ; 8 - 0,15 ;
9 - 0,1 ; 10 - 0,325 ; 11 - 0,25 ; 12 - 0,04 ; 13 - 0,12 , 14 - 0,35 ;15 - 0,24
Используемые ресурсы:
Открытый банк заданий ОГЭ(2019-2020)
Монеты
http://trinixy.ru/2008/10/30/samye_dorogie_sovremennye_monety_rossii_12_shtuk__tekst.html
Теория и примеры
http://sdo.uspi.ru/mathem&inform/dopoln/dop_lek4/dop_lek4.htm#решение_задач
Теория вероятностей и математическая статистика I. Теория вероятностей: учебное пособие / О.Л. Крицкий, А.А. Михальчук, А.Ю. Трифонов, М.Л. Шинкеев; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 212 с.
16
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России? Ответ: 0,52.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 140 качественных сумок приходится десять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93
В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Ответ: 0,994
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ:0,325.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Греции, 3 спортсмена из Болгарии, 10 спортсменов из Румынии и 8 — из России. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Болгарии. Ответ: 0,1