Исследовательская работа "Предупреждение и устранение ошибок при изучении тригонометрических функций"

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Мичуринский аграрный колледж»

Рассмотрено

на заседании цикловой комиссии

общеобразовательных дисциплин

Протокол № ______от _______________

Председатель ___________ И.М. Долгова

Исследовательская работа

Предупреждение и устранение ошибок

при изучении тригонометрических функций

Автор работы:

Долгова И.М.

преподаватель математики и физики

Мичуринск

Оглавление

Введение………………………………………………………………………………………….3

Методика проведения исследований…………………………………………………………...5

Характеристика объекта исследования………………………………………………………...5

Порядок исследований…………………………………………………………………………..6

Заключение……………………………………………………………………………………...14

Библиографический список……………………………………………………………………15

Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в базовом курсе математики ССУЗов. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы, и преподаватель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обусловливает актуальность выбора темы для данной исследовательской работы.

Кроме того, большие трудности при изучении темы «Тригонометрические функции» возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Таким образом, проблема этой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки методов изложения данного материала. Объектом исследования является процесс изучения функциональной линии в базовом курсе математики. Предмет исследования – предупреждение и устранение ошибок при изучении тригонометрических функций.

Таким образом, основной целью написания данной работы является разработка общих методических положений, на которые нужно обратить внимание при изложении темы «Тригонометрические функции».

Гипотеза: изучение тригонометрических функций будет более эффективным в том случае, когда:

1) перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью, которая рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;

2) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

3) каждое свойство функции четко обосновано, и все они сведены в систему;

4) твердое знание всех формул, как в прямом, так и в обратном порядке.

Для решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения цели реализуются следующие задачи:

- исследование уже имеющейся научно-методической литературы по этой теме;

- экспериментальная проверка эффективности использования разработанной методики.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения вышепоставленных задач были использованы следующие методы: наблюдение, анализ, сравнение, опытное преподавание.

Материалы данной исследовательской работы имеют практическую значимость и могут быть использованы преподавателями математики при изложении темы «Тригонометрические функции».

Методика проведения исследований

Исследования проводились в течение двух лет, 2007-2008, 2008-2009 уч. г., методами наблюдения, анализа, сравнения и опытного преподавания. В ходе исследования устанавливаются и систематизируются типичные ошибки, допускаемые студентами при изучении темы «Тригонометрические функции». На основе полученных данных делаются выводы об эффективности предложенной автором методики предупреждения и устранения ошибок при изучении тригонометрических функций.

Характеристика объекта исследования

Во введении говорилось о необходимости изучения тригонометрических функций числового аргумента в базовом курсе математики. Что же обусловливает данную необходимость?

Итак, основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1) ознакомление студентов с новым видом трансцендентных функций;

2) развитие навыков вычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требует громоздких вычислений);

3) наглядная иллюстрация всех основных свойств функции (в особенности периодичности);

4) установление межпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрического тока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрических функциях);

5) развитие логического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований неалгебраического характера, которые носят исследовательский характер).

В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

I. Первое знакомство с тригонометрическими функциями в геометрии.

Значение аргумента рассматривается в промежутке (0⁰; 90⁰). На этом этапе учащиеся узнают, что sin, cos, tg и сtg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями и некоторыми формулами приведения.

II. Обобщение понятий sin, cos, tg и сtg для углов (0⁰; 180⁰). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.

III. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента.

IV. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе с помощью производной.

Отмечу, что существует несколько способов определения тригонометрических функций. Их можно разделить на две группы: аналитические и геометрические. К аналитическим способам относят определение функции у = sinх как решения дифференциального уравнения f"(x) - C*f(x) или как сумму степенного ряда sinх = х - х³/3! + х⁵/5! - … К геометрическим способам относят определение тригонометрических функций на основе проекций и координат радиус-вектора, определение через соотношения сторон прямоугольного треугольника и определения с помощью числовой окружности. Предпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.

Надо заметить, что изучение тригонометрических функций имеет некоторые особенности. Во-первых, до изучения тригонометрических функций рассматривались функции вида у = f(x), где х и у – некоторые действительные числа, здесь же – углу ставится в соответствие число, что является несколько непривычным для студентов. Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образом был указан порядок действий над значениями аргумента для получения значений функции. Теперь же студенты сталкиваются с функциями, заданными таблично.

Таким образом, изучая тригонометрические функции, студенты лучше начинают разбираться в сущности самого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может быть зависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различную природу (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственное значение функции).

Порядок проведения исследований

Для проведения исследований были выбраны группы первого курса специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Страховое дело». В ходе исследований обращалось внимание на различную математическую подготовку студентов, устанавливались уровень и глубина знаний контингента по теме «Тригонометрические функции», полученных в основной школе.

Изучалась научно-методическая литература по данной теме. Рассматривались различные подходы при изложении тригонометрических функций. Обращалось внимание на методические приемы, используемые учителями-новаторами при изучении тригонометрии в школе.

Описывались все ошибки, допускаемые студентами в ходе решения тригонометрических задач и упражнений, устанавливались среди них доминирующие и типичные. Наблюдения записывались в дневник.

Изучался уровень познавательного интереса студентов к тригонометрическим функциям.

Результаты исследований

При изучении определений тригонометрических функций надо требовать от студентов точного определения функций и формулировки всех формул. Надо, чтобы все студенты, записывая ту или иную формулу, читали ее формулировку литературным языком, тогда им легче будет применять и увидеть ту или другую формулу при тригонометрических преобразованиях и доказательстве тождеств.

В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не произвольного радиуса.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

- находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа и выраженным не в долях числа;

- составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

- определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

- работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;

- находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам.

Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

1. Найти на числовой окружности точки π/2, π/9, 26π/3, -5π/4 …

2. Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4,5, -31…

3. Определить, каким четвертям принадлежат точки 21π/4, -37π/6, 10π, -95π

4. Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам π/4, -3π/2, 23π/6, -13π/3…

5. Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2; 3/2), (-2/2; 2/2); (3/2; -1/2), (-1,0)…

Нужно еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимнооднозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2к, где к є Z.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2.

Когда мы научились работать с числовой окружностью как самостоятельным объектом, можно приступать к введению самих тригонометрических функций.

Не стоит забывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Несмотря на то, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом, необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.

Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса, расположенную в прямоугольно декартовых координатах.

Y

P

О

М X

В положительном направлении от оси ОХ отложим угол такой, что 00. Обозначим полученную на окружности точку как Р. Опустим из точки Р перпендикуляр на ось ОХ, получим точку М. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ОМР. Sin по определению равен отношению МР/ОР, но радиус окружности ОР равен единице, следовательно, Sin = МР. Аналогичным образом, cos = ОМ. Заметим, что длина ОМ – это абсцисса точки Р в прямоугольно-декартовой системе координат, а длина МР – ее ордината. Таким образом, синус и косинус угла определяются через ординату и абсциссу точки Р, что является более удобным при работе в прямоугольно-декартовой системе координат.

Сейчас вернемся к наложенным на угол ограничениям. Угол принадлежит промежутку от 0⁰ до 90⁰, а значит и длина дуги лежит между нулем и π/2. Используя все ту же геометрическую интерпретацию, легко показать, что эти определения можно распространить и на любые углы и числа.

Вообще говоря, определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз уж мы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определить функции тангенс и котангенс, используя только их геометрические определения (заметим, что выражения «тангенс угла – это отношение синуса к косинусу» и «котангенс угла – это отношение косинуса к синусу» не являются определениями – это уже свойства).

Чтобы расширить понятие угла удобно рассматривать несколько задач вида:

Задача: на сколько градусов повернется спица велосипеда за 20 секунд, если за 1 секунду она поворачивается на 20 градусов.

Решение: α = 20⁰ * 20 = 400 = 360⁰ + 40⁰

Ответ: спица велосипеда совершит один полный оборот и повернется еще на 40⁰.

Большое внимание надо обращать на радианную меру угла и переход от радианной меры к градусной и обратно.

Обратить внимание на функции числового аргумента, чтобы студенты могли находить функции числового аргумента по таблицам.

Например: sin2 = 0,9093 и что sin2 . Здесь 2 – значение аргумента и что это угол в радианах, а не отвлеченное понятие.