Числовые последовательности

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Числовые последовательности

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

«Числа управляют миром.

Все вещи - суть числа.

Все прекрасно благодаря числу»

Пифагор

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Последовательности в жизни

Утро → День → Вечер → Ночь

Понедельник→ Вторник → Среда →Четверг→ Пятница→ Суббота→ Воскресенье

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Последовательности в жизни

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Последовательности в литературе

Ямб

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»

2; 4; 6; 8;…

Хорей

«БУря мглОю нЕбо крОет…»

1; 3; 5; 7;…

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение числовой последовательности

Функцию вида

называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

Обозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Рассмотрим функцию

График состоит из отдельных точек.

…

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Получим последовательность чисел

1, 4, 9, 16, 25, …, , …

Последовательность квадратов натуральных чисел

– I член последовательности

– II член последовательности

– III член последовательности

– n -ый член последовательности

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Найдите соответствие между столбцами

1) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29

2) 100, 90, 80,70, 60,50

А . Уменьшение каждого члена на 10

Б. В порядке убывания положительные числа кратные 5

3) 243, 81, 27, 9, 3, 1

В . Уменьшение каждого члена в 3 раза

4) 5, 10, 15, 20, 25

Г. Увеличение каждого члена на 4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Последовательность задана аналитически , если указана формула ее n -го члена

Пример 1:

y n =n 2

последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 2:

Найти первый, третий и шестой члены последовательности

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Аналитическое задание числовой последовательности.

Пример 3:

Задать последовательность формулой n -го члена:

а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Словесное задание числовой последовательности.

Правило составления последовательности описывается словами

Пример :

последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

последовательность кубов натуральных чисел

1, 8, 27, 64, 125, …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным

( от латинского recurrere – возвращаться)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 1:

y 1 =3, y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, …

Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4

y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4= 3 + 4 = 7

y 3 = y 2 + 4= 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4= 11 + 4 = 15 и т.д.

Получаем последовательность

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Пример 2:

y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов

y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2

y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д.

Получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Способы задания числовой последовательности

Рекуррентное задание числовой последовательности.

Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности:

1) Арифметическая прогрессия

у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, …

2) Геометрическая прогрессия

у 1 = b, у n = у n-1 · q, b и q – числа, n = 2, 3, …

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 у 2 у 3 у 4 … у n … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина " width="640"

Монотонные последовательности

Последовательность (у n ) – возрастающая , если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е.

у 1 2 3 4 n

Пример:

2, 4, 6, 8, 10, …

Если а 1 , то последовательность у n = а n – возрастает.

Последовательность (у n ) – убывающая , если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е.

у 1 у 2 у 3 у 4 … у n …

Пример:

-1, -3, -5, -7, -9, …

Если 0 , то последовательность у n = а n – убывает.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Монотонные последовательности

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными .

Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Классная работа

№ 15.3, 15.7, 15.8, 15.10

Домашнее задание

№ 15.4, 15.6, 15.9, 15.11

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина