"Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)

Тип урока: обобщающий урок по алгебре с элементами исследования.

Цели урока:

образовательные:

-исследовать связь между арифметической и геометрической прогрессиями;

- познакомить с понятием функции дискретной переменной;

- усвоить и отработать приемы построения графика функций дискретной переменной;

развивающие:

- развить умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждение по аналогии;

- сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель в некоторой реальной ситуации;

воспитательные:

- показать связь математики с реальной действительностью, развить культуру и стиль мышления, математическую речь учащихся;

-формировать информационную культуру, интерес к информатике;

Технические средства: компьютеры, мультимедийный проектор, презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессия», мультимедийный диск «Интерактивная математика. 5-9 классы».

Ход урока.

1. Организационный момент. Сообщение темы, целей урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель:

- вспомним:

1) определение арифметической и геометрической прогрессий,

2) формулы n-ных членов арифметической и геометрической прогрессий,

3)формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий,

4) характеристические свойства прогрессий.

(Соответствующие формулы ученики записывают на доске и в тетрадях).

3. Учитель:

-рассмотрим и решим 2 задачи

ЗАДАЧА 1. Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 3 дм, а каждый следующий длиннее на 2 дм.

ЗАДАЧА 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.

Задания к задачам.

1. Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

2.Постройте график заданной прогрессии по данным задачи, если 1 ≤n ≤ 7 используя мультимедийный диск «Интерактивная математика. 5-9 классы».

3. Сформулируйте вывод о графике.

Учитель :

-при изучении какой темы мы ранее строили графики?

- а нет ли здесь функциональной зависимости?

-назовите область определения каждой из этих функций.

-итак, арифметическая и геометрическая прогрессии есть функции, заданные на множестве натуральных чисел. Внимательно рассмотрите графики этих последовательностей и сделайте выводы о членах этих прогрессий.

(вывод: при n=1,2,3 члены геометрической прогрессии увеличиваются незначительно , даже медленнее, чем члены арифметической прогрессии, но с увеличением номера члена члены геометрической прогрессии делают резкий скачок в сторону увеличения).

Сообщение ученика.

-Об этой особенности членов геометрической прогрессии хорошо знал изобретатель шахмат много веков назад. До нас дошла легенда. Индийскому царю понравилась игра в шахматы. Он решил вознаградить изобретателя. Тот попросил за одну клетку шахматной доски- 1 пшеничное зерно, за 2 клетку- 2 зерна, за 3 клетку- 4 зерна, за 4 клетку- 8 зерен, за 5 клетку- 16 зерен и т.д. царь был очень огорчен тем, что изобретатель попросил столь ничтожную плату. И был удивлен, когда придворные математики сообщили ему требуемое количество зерен:

18 446 744 073 709 551 615 зерен, что составило 230 584 300 921 369 пудов.

Чтобы поместить такое количество зерна нужно построить амбар высотой 4м, шириной- 10м и длиной- 300000000 км. Это расстояние в 2раза больше расстояния от земли до солнца. Чтобы получить такой урожай надо засеять пшеницей поверхность всей земли: океаны, моря, горы, пустыни, Арктику, Антарктику и получать средний урожай в течение 5 лет.

Учитель :

- с формулой связан случай с великим математиком К.Ф. Гауссом, когда он учился в 3 классе. Учитель велел сложить все числа от 1 до 100. Едва учитель закончил чтение условия Гаусс предъявил ответ, записанный на грифельной доске.

-сформулируйте свойство членов конечной арифметической прогрессии на основании которого маленький Гаусс решил эту задачу.(В конечной арифметической прогрессии суммы членов равноотстоящих от концов прогрессии равны между собой).

- а не обладают ли похожим свойством члены конечной геометрической прогрессии? (В конечной геометрической прогрессии произведения членов равноотстоящих от концов прогрессии равны между собой). Докажем это свойство для конечной геометрической прогрессии b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b₆.

( Доказательство у доски:

b₁*b₆=b₁*b₁q⁵=b₁²q⁵

b₂*b₅=b₁q*b₁q⁴=b₁²q⁵

b₃*b₄=b₁q² *b₁q³=b₁²q⁵.

Итак, b₁*b₆= b₂*b₅ =b₃*b₄.)

- решим задачу № 403(«Алгебра 9»,авторы Ш.А. Алимов и др.), в которой применяется одно из характеристических свойств прогрессий.

(№ 403. В арифметической прогрессии а₃+а₉=8. Найти S₁₁).

-а теперь обратимся еще раз к формулам n-ного члена прогрессий и их характеристическим свойствам. Внимательно посмотрите, подумайте и скажите, что надо сделать, изменить в этих формулах, чтобы все увидели связь, которая существует между ними? (Да, похожи если заменить в формулах n-ного члена сложение умножением и умножение – возведение в степень. Родство прогрессий становится еще более заметным, если в формулах, выражающих характеристические свойства заменить сложение умножением, а деление на 2 – извлечением квадратного корня. И тогда из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии).

- на связь между арифметической и геометрической прогрессиями первым в глубокой древности обратил внимание Архимед. В 1544 году вышла книга немецкого математика Штифеля « Общая арифметика» в которой он составил следующую таблицу:

-есть ли какая-то закономерность, связывающая числа в строке? (В верхней строке арифметическая прогрессия с разностью единица. В нижней –геометрическая прогрессия со знаменателем 2).

-а какая связь существует между строками таблицы? (Числа верхней строки есть показатели степени с основанием 2, а соответствующие числа нижней строки есть значение этой степени).

- итак, числа в нижней строке можно записать в виде последовательности:

2^-4 ; 2^-3 ; 2^-2 ; 2⁰ ; 2¹ ; 2² ; 2³ ; 2⁴ ; 2⁵ ; 2⁶; 2⁷. Связана ли эта последовательность с темой урока? ( Показатели степеней являются членами арифметической прогрессии, а сами степени составляют геометрическую прогрессию).

4. Итог урока.

1) Арифметическая и геометрическая прогрессии есть функции, заданные на множестве натуральных чисел.

2) В конечной арифметической прогрессии суммы членов равноотстоящих от концов равны.

3) В конечной геометрической прогрессии произведения членов равноотстоящих от концов равны.

4) Если показатели степеней являются членами арифметической прогрессии, то сами степени являются членами геометрической прогрессии.

5. Домашнее задание.

-могут ли 3 числа составить одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?