Вычислительные навыки (продолжение)

«Математику уже затем следует учить, что она ум в порядок приводит» М. В. Ломоносов «Самый лучший способ развития памяти у ребенка - это устный счет» Л. Пшеничная Одна из важнейших задач обучения математике младших школьников — формирова¬ние вычислительных навыков, осно¬вой которых является осознанное использование вычислительных приемов. Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе. В федеральных государственных образовательных стандартах общего образования второго поколения особое место отведено «универсальными учебным действиям». В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т.е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Таким образом, авторы стандартов второго поколения рассматривают универсальные учебные умения как совокупность способов действий учащегося, которые обеспечивают его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая и организацию этого процесса. На этих принципиальных положениях должно основываться формирование вычислительных навыков в развивающей системе обучения. Для этого должны выбираться такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствовали бы не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и формированию универсальных учебных действий: - личностных, обеспечивающих ценностно - смысловую ориентацию учащихся, -регулятивных, обеспечивающих учащимся организацию их учебной деятельности - это целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция, -познавательных универсальных действий - это общеучебных, логических, постановки и решения проблем, -коммуникативных. Полноценный вычислительный навык обучающихся характеризуется следующими качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждает учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональ¬ных приемов, помогающих во многих слу¬чаях значительно облегчить процесс вычис¬лений, способствует формированию поло¬жительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений долж¬на проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом. К сожалению, далеко не всегда удается добиться этой цели в силу существующих объективных и субъективных причин. Од¬ной из наиболее важных объективных при¬чин неумения школьников использовать ра-циональные приемы вычислений является, по моему мнению и по мнению автора диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Клецкиной А.А., в том, что задача формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков в учебниках развивающего обучения отодвинута на второй план. [6] По мнению Лавлинсковой Е.Ю.(Автора книги «Методика формирования навыка устного счета» по системе общего развития Л. В. Занкова) причина трудностей учащихся при устных вычислениях кроется в том, что на сегодняшний момент не прослеживается четкой системы работы по развитию вычислительных навыков. Задания, связанные с устными вычислениями, носят хаотичный и эпизодический характер, редко или совсем не рассматриваются способы рациональных вычислений, не всегда учитель видит необходимость и эффективность использования таких способов. [3] В федеральных государственных образовательных стандартах общего образования второго поколения особое место отведено деятельностному, практическому содержанию образования, применению приобретенных знаний и умений в реальных жизненных ситуациях. Усиление внимания к рационализации вычислений и связано с практической направленностью математического образования, которая означает развитие умений школьников применять полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом. Это связано с тем, что для нахождения результа¬та арифметического действия можно пользоваться в качестве теоретической основы различными теоретическими положениями, которые и приводят к разным приемам (способам) вычислений. Например: 1) 13х 6=13+13+13+13+13+13= 78 2) 13х 6 = (10+3)х6 = 10х6 +3х6=78 3) 13х6 = 13х(2х3)= (13х 2)х3=78 Методика формирования вычислительных навыков. В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение того или иного вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. Вычислительные группы приемов. 1. Приемы, теоретической основой которых является конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычи¬тания чисел в пределах 10 для случаев вида а±2, а±3, а±4, а±0; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, приемы умножения единицы и нуля. Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащих¬ся с конкретным смыслом арифметических действий и на основе выполнения операций над мно¬жествами. 2. Приемы, теоретической основой кото¬рых служат свойства арифметических дей¬ствий. К этой группе относится большинство вычис¬лительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида: 53±20, 47 ± 3, 30-6, 9+3, 12-3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57±32, 64±18, аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел, боль¬ших, чем 100, приемы умноже¬ния и деления для случаев вида 12 х 5, 5 х 12, 81:3, 18 х 40, 180:20, аналогичные приемы умножения или деления для чисел, больших ста. Общая схема введения этих приемов оди¬накова: сначала изучаются соответствую¬щие свойства и на их основе вводятся приемы вычислений. 3. Приемы, теоретической основой которых являются связи между компонентами и ре¬зультатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида: 9 – 7, 24 : 3, 80 : 20, 54 : 18, 9: 3, 0:6. При введении этих приемов сначала рас¬сматриваются связи между компонентами и результатами действий сложения или умножения, а затем на этой основе вводится вычислительный прием. 4. Приемы, теоретической основой которых является изменение результатов арифмети¬ческих действий в зависимости от измене¬ния одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (45+19, 612- 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует пред¬варительного изучения соответствующих зависимостей. 5. Приемы, теоретической основой которых являются вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида: а±1, 10+7, 7+10, 17- 10,17 – 7, 67х10, 1200:100, аналогич¬ные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации. 6. Приемы, теоретическая основа которых — правила. К ним относятся приемы для двух случаев ах1 и ах0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сооб¬щаются учащимся и в соответствии с ни¬ми выполняются вычисления. Заметим, что целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной груп¬пе приемов, но и к другой. Например, слу¬чаи вида 46+19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической ос¬нове, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это и есть реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы — залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических по¬ложений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложении 56+19) яв¬ляется предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков. Приемы рациональных вычислений. I. Приемы сложения. Рациональные приемы сложения основываются на комму¬тативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложе¬ния, а также на свойствах изменения суммы. Коммутативный закон сложения. Сум¬ма не изменяется от перемены мест слагае¬мых. Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой. Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится. Свойство 1.3. Если все слагаемые дан¬ной суммы увеличить или уменьшить в од¬но и то же число раз, то сумма соответст¬венно увеличится или уменьшится во столько же раз. 1) Сложение, основанное на ассоциативном законе: а) 7+4+8+6+2=7+(8+2)+(4+6)=7+10+10=27 б) 13+18+7+22= (13+7)+(18+22)=20+40=60 в) 73+106+27+204=(73+27)+(106+204)=100+310=410 2) Округление одного или не¬скольких слагаемых. Одно или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круг¬лых» чисел, а затем соответствующее до¬полнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычи¬тают из нее. а)37+49=37+50-1=86 б)198+299=200-2+300-1=500-3=497 3) Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чи¬сел сначала находят суммы соответствую¬щих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частно¬сти, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десят¬ков, потом — всех единиц, а затем склады¬вают полученные суммы. а) 13+47+29=(10+40+20)+(3+7+9)=70+19=89 4) Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа. Пусть требуется найти сумму 37 + 34 + 29 + 35. Легко заметить, что все эти числа близ¬ки к числу 30, поэтому его считают «корне¬вым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности: 1) находят сумму «корневых» чисел: 30 х 4 =120, так как в сумме 4 слагаемых; 2) находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7+4-1+5=15 II. Приемы вычитания. Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изме¬нения разности. Свойство 2.1. Если уменьшаемое увели¬чилось или уменьшилось на некоторое чис¬ло, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число. Свойство 2.2. Если вычитаемое увели¬чить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц. Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вы¬читаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится. Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычи¬таемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. 1) Увеличение или уменьше¬ние уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц. 142 - 26 = (142 - 2) - (26 - 2) = 140-24 = 116. Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу. 585 - 296 = (585 + 4) - (296 + 4) = 589 - 300 = 289 2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а за¬тем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее. а) 506-198=506-200+2=306+2=308 б) 506-208=506-200-8=306-8=298 3) Округление уменьшаемого. 102-36=100+2-36=(100-36)+2=64+2=66 402-156=400+2-156=(400-156)+2=244+2=246 4) Разложение вычитаемого на части. 371-175=371-170-5=201-5=196 III. Приемы умножения. Все приемы ра¬циональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свой¬ствах изменения произведения. Коммутативный (переместительный) закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест множителей. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения. Про¬изведение не изменится, если заменить ка¬кую-либо группу рядом стоящих множите¬лей их произведением. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не из¬менится, если заменить его суммой произ¬ведений данного числа на каждое из этих слагаемых. а) 15х4+15х6=15х(4+6)=15х10=150 Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно вычитания. Произведение данного числа на разность двух чисел не из¬менится, если заменить его разностью произ¬ведений данного числа на каждый компонент разности. б)199х4=(200-1)х4=200х4-1х4=800-4=796 (при округлении одного из множителей) Свойство 3.1. Если один из множителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличит¬ся или уменьшится во столько же раз. Свойство 3.2. Если один из множителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится. Свойство 3.3. Если два или несколько множителей данного произведения умно¬жить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умно¬жится или разделится на произведение этих чисел. Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие при¬емы, позволяющие рационализировать вы¬числительный процесс. Прием 1. Разложение одного из мно¬жителей на множители. Один из множи¬телей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последо¬вательно умножают второй множитель на эти множители. Данный прием позволяет сформулиро¬вать ряд правил. Правило 1.1. Умножение на 4 (8, 16). Умножение на 4 (8, 16) сводится к двукрат¬ному (трехкратному, четырехкратному) ум¬ножению на 2. а) 29х4=(29х2)х2=58х2=116 б) 29х8=(29х2)х4=58х4=232 с) 29х16=(29х2)х8=58х8=464 Прием 2. Увеличение одного из мно¬жителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго мно¬жителя во столько же раз. Один из мно¬жителей произведения увеличивают в не¬сколько раз, второй — уменьшают во столько же раз, а затем находят произве¬дение полученных чисел. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил. Правило 2.1. Умножение четного чис¬ла на 15 (25, 35, 45). Чтобы умножить чет¬ное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90). а) 26 х 15 = (26 : 2) х (15 х 2) = 13 х 30 =390 б) 26 х 25 = (26 : 2) х (25 х 2) = 13 х 50 =650 в) 26 х 35 = (26 : 2) х (35 х 2) = 13 х 70 =910 г) 26 х 45 = (26 : 2) х (45 х 2) = 13 х 90 =1170 Прием 3. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел. Один из множителей произ¬ведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель. Данный прием позволяет сформулиро¬вать ряд правил. Правило 3.1. Умножение на 5 (50, 500). Чтобы умножить число на 5 (50, 500), до¬статочно умножить его на 10 (100, 1 000) и результат разделить на 2. а) 27х5=27х10:2=270:2=135 б) 27х50=27х100:2=2700:2=1350 в) 27х500=27х1000:2=13500 Правило 3.2.Умножение на 25 (250, 2500). Чтобы умножить число на 25,250, 2500), достаточно умножить его на 100, 1 000, 10 000) и результат разделить на 4. а) 28х25=28х100:4=700 б) 28х250=28х1000:4=7000 в) 28х2500=28х10 000:4=70 000 Правило 3.3. Умножение на 125 (1 250). Чтобы умножить число на 125 (1250), до¬статочно умножить его на 1 000 (10 000) и результат разделить на 8. а) 64х125=(64х1000):8=8000 б) 64х1250=(64х10000):8=80000 Небольшие изменения приема 3 позво¬ляют сформулировать следующее правило умножения на 75. Правило 3.4. Умножение на 75. Чтобы умножить число на 75, достаточно разде¬лить его на 4, умножить частное на 3 и ре¬зультат умножить на 100, т.к. 75=100:4 х3 104 х 75 = (104 : 4) х 3 х 100 = 26х3 х100 = 78х100 = 7800 Прием 4. Представление одного из множителей произведения в виде разно¬сти двух чисел. Один из множителей про¬изведения представляют в виде разности двух чисел, второй множитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произве¬дений. Данный прием позволяет сформулиро¬вать ряд правил. Правило 4.1. Умножение на 9 (99, 999). Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100, 1 000) раз и из полученного результата вычесть са¬мо число. а) 57 х 9 = 57 х 10 - 57 = 570 - 57 = 513; б) 57 х 99 = 57 х 100 - 57 = 5700 - 57 = 5643 в) 57 х 999 = 57 х 1000 - 57 = 57000 - 57 = 56943 Прием 5. Представление одного из множителей произведения в виде суммы двух чисел. Один из множителей произве¬дения представляют в виде суммы двух чи¬сел, второй множитель умножают на каждое слагаемое, а затем складывают получившиеся произведения. Данный прием позволяет сформулиро¬вать ряд правил. Правило 5.1. Умножение на 11 (101, 1001). Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число. а) 67 х11 = 67 х 10 + 67 = 670 + 67 = 737 б) 67х 101 =67 х 100 + 67 = 6700 + 67 =6 767 в) 67 х1001 = 67 х 1000 + 67 = 67000 + 67 = 67067 Существуют еще интересные правила умножения двузначных чисел на 11, 101, 99. Правило 5.2. Умножение двузначного числа на 11. Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его ци¬фры и вставить между ними их сумму. При¬чем, если эта сумма сама является двузнач¬ной, то ее единицы вставляются между ци¬фрами данного числа, а десятки прибавля¬ются к первой цифре. Пример. Для нахождения значения произведения 63х11 проделаем следующее 1) находим сумму 6 + 3 = 9; 2) раздвигаем цифры числа 63, вставив между ними цифру 9, получим ответ: 63 х 11 = 693. Пример. Для нахождения значения про¬изведения 58 • 11 проделаем следующее: 1) находим сумму 5 + 8 = 13; 2) раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5 + 1 = 6), получим ответ: 58 • 11 = 638. Правило5.3. Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число. Пример. 73х101 = 7373. Правило 5.4. Умножение двузначного числа на 99. Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующе¬му числу приписать его дополнение до 100. Пример. 13х99 = 1287. Прием 6. Умножение чисел меньших двадцати. Чтобы умножить два числа, ко¬торые меньше двадцати, достаточно при¬бавить к первому единицы второго, к ре¬зультату приписать нуль и прибавить про¬изведение единиц. Пример. Для нахождения значения про¬изведения 16х13 проделаем следующее: 1) к первому числу прибавляем единицы второго 16 + 3=19; 2) приписываем к результату нуль и при¬бавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6х3 =208. IV. Приемы деления. Приемы рацио¬нальных вычислений для деления основаны на законах умножения и следующих свойст¬вах изменения частного: Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз. Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс. Прием 1. Представление делителя в виде частного двух чисел. Делитель пред¬ставляют в виде частного двух чисел, делимое умножают на второе число, а затем этот результат делят на первое число. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил. Правило 4. 1. Деление на 5 (50, 500).Чтобы разделить число на 5(50,500) достаточно умножить его на 2 и результат разделить на 10(100, 1000),. а) 165:5=(165х2):10=330:10=33 б) 1650:50=(1650х2):100=3300:100=33 в) 16500:500=(16500х2):1000=33000:1000=33 Правило 4. 2. Деление на 25 (250). Чтобы разделить число на 25 (250), достаточно умножить его на 4 и разделить на 100 (1 000). а) 1 100 : 25 = (1 100 х 4) : 100 =4400 : 100 = 44 б) 11000 : 250 = (11 000 х 4) : 1 000 =44 000: 1 000 = 44 Практически все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений могут освоить учащиеся начальных классов, если учитель постоянно будет проводить соот¬ветствующую работу, начиная с I класса. В методике работы над каждым отдельным приемом предусматривается ряд этапов. I. Подготовка к введению нового приема. На этом этапе создается готовность к ус¬воению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вы¬числительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей прием. II. Ознакомление с вычислительным приемом. На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. Выполнение каждой операции важно сопро¬вождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно. Ш. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка. На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком. В процессе работы здесь важно предусмот¬реть ряд стадий в становлении у учащихся вычислительных навыков. а) на первой из них закрепляется знание приема; б) на второй – происходит частичное свертывание выполнения операций; в) на третьей - происходит полное свертывание выполнения операций. Овладение учащимися вычислительными навыками достигается в результате достаточного числа тренировочных упражнений. Важно, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме, чтобы при этом предусматривались аналогии в приемах и в соответствии с ними предла¬гались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении. Список литературы: 1. Бантова М.А.Система вычислительных навыков.//Начальная школа.-1975 -№10.-с.51-55. 2. Демидова Т. Е., А.П. Тонких//Начальная школа.-2002.-№2.-с.94-103. 3. Лавлинскова Е. Ю. Методика формирования навыка устного счета (по системе общего развития Л. В. Занкова)-В.: Панорама, 2006.- с.176. 4. Пшеничная Л.Считай быстрее компьютера/Издание осуществлено за счет средств спонсоров.-1998.-с.120. 5. УзороваО.В. 5500 примеров и ответов по устному и письменному счету 1-4 класс:/Пособие для начальной школы.-К.: ГИППВ,1999.-с.256. 6. Ильина О. Н. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях//Интернет журнал СахГУ «Наука, образование, общество».-2006.-3 февраля. URL статьи: http://journal.sakhgu.ru.