Теорема Помпею

Теорема Помпею

Моя любимая планиметрическая задачка называется теоремой Помпею:

Иллюстрация из книги Арсения Акопяна «Геометрия в картинках»

Доказательств есть много разных, я приведу парочку.

Доказательство через равные треугольники и вписанные углы

Отложим на отрезке длины c отрезок длины a.

Иллюстрация: Наталья Нетрусова

Докажем, что CT=b.

Треугольник ATM равносторонний. Потому что AM=MT и угол AMT равен 60°, как и угол ABC.

Смотрите, желтые треугольники равны:

Иллюстрация: Наталья Нетрусова

Можно честно опереться на первый признак равенства. А можно просто сказать, что они получаются друг из друга поворотом на 60° вокруг точки A.

Доказательство через площади и вписанные углы

Вычислим двумя способами площадь S

четырехугольника ACBM.

С одной стороны, S = ½AB⋅CM⋅sin ϕ,

где ϕ — угол между диагоналями четырехугольника.

С другой стороны, площадь S равна сумме площадей треугольников ACM

и BCM, поэтому

S= ½AC⋅AM⋅sin∠CAM + ½BC⋅BM⋅sin∠CBM

Разберемся с углами. ∠CAM равен 60°+половина дуги ВМ. И именно тому же равен один из углов при пересечении диагоналей четырехугольника ACBM, потому что угол между хордами равен полусумме высекаемых ими дуг. Аналогично с ∠CBM, он равен второму углу при пересечении диагоналей.

Следовательно, sin∠CAM = sin∠CBM = sin ϕ. Кроме того, по условию AB = AC = BC, откуда немедленно следует нуж-

ный результат.

Обобщения

Теорема Помпею является частным случаем нескольких более сложных теорем. Приведу их здесь, а доказательства разберу в последующих статьях.

1. Теорема Птолемея

Если четырехугольник ABCD вписанный, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC

Применим эту теорему в случае теоремы Помпею. Равные стороны треугольника сократятся и получится в точности то, что нам нужно.

2. Обобщенная теорема Помпею

Иллюстрация из книги Арсения Акопяна «Геометрия в картинках»

3. Теореме Кэзи

Не будем на этом останавливаться и вершины А, В, С тоже заменим окружностями.

Даны 4 окружности a,b,c,d. Обозначим за d(a,b) длину общей внешней касательной между a и b. Тогда следующие условия равносильны:

• одно из чисел d(a,b)⋅d(c,d), d(a,c)⋅d(b,d), d(a,d)⋅d(b,c) равно сумме двух других
• окружности a,b,c,d проходят через одну точку, касаются одной прямой или касаются одной окружности.

4. Для пятиугольника тоже применимо

Попробуйте доказать самостоятельно следующее утверждение:

Пусть точка P лежит на дуге BC окружности, описанной около правильного пятиугольника ABCDE. Докажите, что PA + PD = PB + PC + PE.

Указание. Примените теорему Птолемея к четырехугольникам PBAE, PCDE и PAED.