Полезная конструкция в задачах с периметром треугольника

Полезная конструкция в задачах с периметром треугольника

Дан треугольник ABC, AB = 5, BC = 7, АС = 8. Из вершины B опущены перпендикуляры BM и BN на биссектрисы внешних углов при вершинах A и C. Найти длину отрезка MN.

Решение

Продлим BM и BN до пересечения с прямой AC.

Иллюстрация: Наталья Нетрусова

Треугольники BAD и BCE равнобедренные, потому что у них биссектрисы совпали с высотами.

Отсюда два вывода:

• AM и CN — еще и медианы, значит M и N — середины BD и BE.
• DE = AB + BC + AC = 20

MN = DE/2 = 10, как средняя линия в треугольнике DBE.

Заметим, что мы не только нашли длину отрезка MN, но и показали, что она всегда равна полупериметру исходного треугольника.

Другие задачи на ту же конструкцию

1. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

2. Докажите, что в произвольном треугольнике построенный таким образом отрезок MN будет больше любой из его сторон.