Нестандартный ход в решении задачи

Нестандартный ход в решении задачи

Взяли треугольник AMN, у которого ∠A=45°. Вписали его в квадрат ABCD так, что M лежит на BC, а N лежит на CD. В каком отношении диагональ BD делит площадь этого треугольника?

BD разрезает треугольник ANM на треугольник и четырехугольник. Как соотносятся их площади?

Прежде чем читать дальше, присмотритесь, сравните площади треугольника AFE и четырехугольника FEMN и попробуйте угадать ответ.

Как угадать ответ

Рассмотрим предельный случай. Когда точка М совпадает с вершиной В, точка N совпадет с вершиной С. И диагональ BD разрежет треугольник AMN пополам:

Тривиальный случай

Осталось доказать, что ответ будет таким независимо от того, где расположена точка М.

Решение

Будем рассматривать эту картинку как результат сгибания листа бумаги — сначала перегнём треугольник AMB по гипотенузе AM, потом перегнём треугольник AND по гипотенузе AN.

Сложите лист по AM. Точка B перейдет в G

Так как при сгибании сумма углов при вершине А уменьшится вдвое, то в результате AB совместится с AD, а точки D и B попадут в одну точку G — основание высоты треугольника AMN.

Далее, ∠AEF = 45° + ∠EAB = 45° + ∠EAG = 135° – ∠AMG = 180° – ∠MAN – ∠AMN = ∠ANM, и аналогично, равны углы AFE и AMN. Поэтому треугольник AEF подобен треугольнику AMN.

А так как высота AG в треугольнике AMN равна стороне квадрата, а высота из вершины A в треугольнике AEF равна половине диагонали, то коэффициент подобия равен 1/√2. Следовательно, отношение площадей AEF и AMN равно 1/2.

А вы знаете еще задачи, которые решаются сгибанием?

Больше задач — в моем геометрическом телеграм-канале

Другие публикации канала

Как из кубика сделали футбольный мяч

Как выражать несогласие

Математическая составляющая

Похожие статьи на тему

полезные советы

11 способов приготовить еду по-новому: полезные лайфхакиПОПУЛЯРНАЯ МЕХАНИКА

Не выбрасывайте стеклянные банки! 5 видео МК по декору вазы из банки