Методические приемы развития у учащихся умений использования функционально-графических представлений при решении квадратных уравнений

Одним из важнейших направлений государственной политики в области образования является развитие математического образования. Его фундаментальность и значимость как составляющей науки, культуры и жизни общества в целом обоснована в Концепции математического образования и в Федеральном государственном образовательном стандарте (ФГОС) основного общего образования.

В частности, во ФГОС основного общего образования [1] указано, что изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить:

- овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных задач, для описания и анализа реальных зависимостей.

Первичной математической моделью любого реального процесса является функция. Такие свойства графиков функций, как выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, смысловая однозначность, интернациональность, легкость кодирования и декодирования графических изображений делают их незаменимыми в исследовательской и практической работе, в решении технических и социально-экономических вопросов.

Функции, их свойства и графики (функционально-графический материал) составляют стержень школьного курса математики. Именно школьный предмет «Математика» занимает ведущее место в формировании умений, необходимых для чтения и изображения графиков элементарных функций, что составляет основу функционально-графической грамотности (ФГГ).

Анализ методической литературы по проблеме развития у учащихся функционально-графических представлений (А.Д. Ботвинников [2], В.А. Далингер [3], А. Т. Зверева [4], Б. Ф. Ломов [5], С.И. Мещерякова [6]) позволил определить феномен «функционально-графическая грамотность учащегося».

Под функционально-графической грамотностью мы понимаем наличие у учащегося системы функционально-графических знаний и умений, необходимых для чтения и изображения графиков элементарных функций.

Понятие «функционально-графические знания в математике» включает [7]:

• знание содержания функционально-графического материала, регламентированного стандартом основного общего образования;
• умение выполнять изображение графика функции в соответствии с условием задачи и умение читать график функции.

В примерной образовательной программе основного общего образования, среди предметных результатов освоения учебного предмета «математика» выделяются следующие:

• выпускник научится: понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций; применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения систем уравнений с двумя переменными;
• выпускник получит возможность: применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих буквенные коэффициенты.

Для формирования таких результатов обучения, в процессе изучения математики обучающиеся должны научиться пользоваться всеми приёмами решения уравнений и неравенств алгебраическими методами и уметь выполнять следующие действия:

• выполнять операции над функциями;
• определять структуру уравнения или неравенства, то есть выяснять, из каких функций и каким образом оно составлено;
• определять свойства, относящиеся к функциям из уравнения или неравенства (ограниченность, четность, монотонность, периодичность, выпуклость и т.д.), то есть исследовать функции;
• строить графики и эскизы графиков функций.

Развитие у учащихся умений использования функционально-графических представлений при решении квадратных уравнений можно осуществлять в два этапа:

• решение уравнений и неравенств, применяя отдельные свойства функции;
• выбор метода решения уравнений и неравенств повышенной сложности.

На первом этапе обучающиеся знакомятся с применением свойств функций при решении уравнений и неравенств функционально-графическим методом. Обучение на этом этапе должно проходить по следующей схеме:

• раскрытие теоретической базы применения отдельных свойств функций при решении уравнений и неравенств;
• выделение частных приемов применения отдельного свойства функции при решении уравнений и неравенств;
• разбор совокупность задач для применения отдельного свойства функции при решении уравнений и неравенств;
• подбор упражнений для самостоятельной работы.

  Предполагается, что перед изучением функционально-графического метода решения квадратных уравнений была изучена тема «График функции y=x2».

  1 этап. Проверка домашнего задания. Повторение свойств квадратичной функции и построения ее графика, свойств функции обратной пропорциональности и ее графика, нахождения вершины параболы, полного квадрата, свойств преобразования графиков функций.

  2 этап. Постановка проблемы: дать учащимся решить квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, что сделать они не смогут в силу нехватки знаний.

  3 этап. Предложить построить график данного квадратного трехчлена и найти точки пересечения с осью Ox. Это и будет корнями уравнения.

  4 этап. Показать учащимся всевозможные способы решения квадратных уравнений функционально-графическим методом, при этом использовать вопросно-ответные процедуры. Основные способы: через нахождение вершины параболы и точек пересечения с осью абсцисс; с помощью переноса некоторых слагаемых из одной части в другую и построение обеих частей в одной системе координат; с помощью выделения полного квадрата; с помощью деления обеих частей уравнения на переменную.

  Список литературы

• Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования, утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 декабря 2010 г. №1897. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://fgos.ru/ (дата обращения 15.04.2021)
• Ботвинников А.Д., Ломов Б.Ф. Научные основы формирования графических знаний, умений и навыков. — М.: Педагогика, 1979. 287' с.
• Далингер, В.А. Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе алгебры: автореферат дис.. канд. пед. наук/ Далингер В. А. — М., 1981.-21 с.
• Зверева, А. Т. Задачи как средство формирования и развития графических умений при обучении планиметрии : автореф. дис.. канд. пед. наук : 13.00.02 / Зверева Анна Тимофеевна. - М.,11989. - 16 с.