ЕГЭ профильная математика. 16 задание, планиметрия. Разбор задачи

ЕГЭ профильная математика. 16 задание, планиметрия. Разбор задачи

Сейчас существует множество источников заданий и разбором решения. Но в большинстве из них решение дается в сжатом виде, где многие выводы пропущены. Считается, что это и так очевидно. Кстати, про такое "очевидно" есть анекдот:

Профессор объясняет студентам решение задачи на доске. В какой-то момент он говорит: "из этого очевидно следует, что."

здесь он прерывается, задумывается, смотрит еще раз на решение, опять думает, потом убегает из аудитории и отсутствует некоторое время. затем возвращается с толстенной книгой в руках, долго в ней что-то рассматривает, листает страницы, и минут через десять выдает:

"ну да, очевидно следует! " и продолжает))

По опыту я знаю, что далеко не всем очевидны такие разборы и некоторые вовсе забрасывают подобные задачи, считая что им они не под силу.

Поэтому я решила выложить подробный разбор одной из таких задач.

Решение может показаться длинным, но это от того, что я расписала каждый шаг и еще добавила некоторые правила.

Итак, задача. Условие:

Дан остроугольный треугольник АВС.

Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М.

Биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N.

а) Докажите, что

б) Найдите ВМ, если АВ = АС = 5, ВС = 6

Решение а):

В результате проведения окружности появились вписанные углы.

Рассмотрим рисунок:

Что и требовалось доказать.

Решение б) (Найдите ВМ, если АВ = АС = 5, ВС = 6):

Таким образом, отрезки КМ и КZ равны, следовательно, точка М лежит на биссектрисе угла КАС:

Аналогичными рассуждениями доказывается, что точка N лежит на биссектрису угла ВКТ, где точка Т обозначает конец прямой, получившейся продлением отрезка СА за точку А:

Треугольник АВС – равнобедренный по условию (АВ = АС = 5).

Угол САК является внешним к равнобедренному треугольнику АВС, отсюда:

А углы МАС и АСВ – внутренние накрест лежащие при прямых АМ и ВС и секущей АС, следовательно, отрезки АМ и ВС параллельны.

Аналогично доказывается параллельность отрезков АN и ВС.

Из этого следует, что весь отрезок MN параллелен отрезку ВС и содержит точку А.

Таким образом, получаем, что MNBC – трапеция с основаниями MN и BC.

Трапеция еще и равнобедренная, потому что

окружность можно описать только около равнобедренной трапеции,

а в первом пункте задачи было доказано, что около точек MNBC можно описать окружность.

А – центр этой окружности.

Это можно заключить из равенства треугольников АМС и АNВ.

Треугольники АМС и АNВ равны по двум сторонам и углу между ними. АВ=АС по условию, NB = MC, так как трапеция MNBC равнобедренная, а углы между этими сторонами – это половины равных углов.

Отсюда АN = АВ и АМ = АС.