Задачи на тела вращения. вычисление объемов

11 класс

УМК: Л.С. Атанасян и др.

Задачи по теме

«Тела вращения»

на вычисление объёмов

Повторение

От арбуза радиусом 15 см отрезали верхушку (шапочку) толщиной 6 см. Каков радиус окружности на срезе?

Решение.

Ответ: 12 см

Содержание

2

3

4

5

6

7

1

8

13

14

11

9

10

12

17

15

16

20

18

19

21

27

26

25

24

23

22

Дополнительные

1

2

3

4

В-25 №7 Объём шара равен 36 π см ³ . Найдите площадь поверхности шара.

№ 6

К задаче № 6

V = 4/3· π R³

S = 4 π R²

Ответ: 36 π см ²

№ 5 ( В-18 №7 )

Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8√2 см.Найдите объем цилиндра.

К задаче № 5

О1

В

С

К

А

D

О

Ответ: 128 π см ³

№ 4 (В-13 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6см и гипотенузой 10см вокруг большего катета.

К задаче № 4

А

V кон. =1/3· π R²H

В

С

Ответ: 96 π см ³

№ 3 (В-9 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3см и прилежащим углом 30 ° вокруг меньшего катета.

К задаче № 3

В

30 °

D

А

С

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 3 √ 3 · π см ³

№ 2 (В-4 №7)

Радиус основания цилиндра равен 4см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найдите объём цилиндра.

К задаче № 2

V цил. = π R²H

О1

В

С

S бок. = 2S осн.

D

А

О

Ответ: 64 π см ³

№ 1

Равнобедренная трапеция, основания которой равны

6 см и 10 см , а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Найдите объем тела вращения.

К задаче № 1

H ц

V цил. = π R²H

6 см

V кон. =1/3· π R²H

R

10 см

H к

Ответ: 120 π см ²

№ 8 (В-31 №7)

Площадь боковой поверхности конуса равна 20 π см ² , а площадь его основания на

4 π см ² меньше. Найдите объём конуса.

К задаче № 8

В

V кон. =1/3· π R²H

S бок. = π RL

А

С

О

Ответ: 16 π см ³

№ 16 ( В-63 №7 )

Высота цилиндра равна 6см, а его площадь боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объём цилиндра.

К задаче № 16

О 1

В

С

V цил. = π R²H

2 S бок. = S пол.

А

D

О

S бок. = 2 π RH

Ответ: 216 π см ³

№ 15 (В-62 №7)

Образующая конуса равна 5см, а площадь его боковой поверхности равна 15 π ² . Найдите объём конуса .

К задаче № 15

В

V кон. =1/3· π R²H

S бок. = π RL

А

С

О

Ответ: 12 π см ³

№ 14 (В-60 №7)

Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая конуса равна 13 см. найдите объём конуса.

К задаче № 14

В

V кон. =1/3· π R²H

А

С

О

Ответ: 100 π см ³

№ 13 (В-51 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10см и острым углом 30 ° вокруг меньшего катета.

К задаче № 13

В

30 °

А

С

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 125 π см ³

№ 12 (В-48 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 10см вокруг большей стороны.

К задаче № 12

V цил. = π R²H

В

С

D

А

Ответ: 360 π см ³

№ 11 (В- 41 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.

К задаче № 11

V цил. = π R²H

В

С

О1

А

D

О

Ответ: ?? см ³

№ 10 (В – 37 №7)

Радиус основания цилиндра равен 8см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите объём цилиндра.

К задаче № 10

V цил. = π R²H

О1

В

С

V цил. =S осн. · H

S осн.= π R²

А

D

О

S б. =2 π RH

Ответ: 128 π см ³

(В-29 №7) Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол в 30 ° . Найдите объём конуса.

№ 7

К задаче № 7

М

30 °

А

В

О

V кон. =1/3·S осн. ·H

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 216 π см ³

(В-32 №7) Объём конуса с радиусом 6 см равен 96 π см ³ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

№ 9

К задаче № 9

S

S бок. = π RL

V кон. =1/3· π R²H

В

А

О

Ответ: 60 π см ²

(В – 68 №7) Квадрат со стороной 3см вращается вокруг своей диагонали. Найдите объём тела вращения.

№ 17

К задаче № 17

В

V т.вр. = 2 · V кон.

О

С

А

V кон. =1/3· π R²H

D

Ответ: (9√2)/2 π см ³

(В-84 №7) Шар с центром в точке О касается плоскости в точка А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО=29см.

№ 22

К задаче № 22

В

А

β

V ш. = 4 /3· π R ³

О

Ответ:. 32000/3 · π см ³

№ 21 (В-82 №7)

Площадь осевого сечения цилиндра равна 64см ² , а его образующая равна диаметру основания. Найдите объём цилиндра.

К задаче № 21

О1

В

С

А

D

О

V цил. = π R²H

Ответ: 128 π см ³

№ 20 (В-78 №7)

Высота конуса равна 5см, а угол при вершине осевого сечения равен 120 ° . Найдите объём конуса.

К задаче № 20

М

120 °

А

В

О

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 125 π см ³

№ 19 (В-70 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении квадрата со стороной 7см вокруг прямой, соединяющей середины противолежащих сторон.

К задаче № 19

V цил. = π R²H

О1

В

С

D

А

О

Ответ: 85,75 π см ³

№ 18 (В-69 №7)

Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 8см вокруг прямой, которая проходит через середины его меньших сторон.

К задаче № 18

В

С

О

О1

А

D

V цил. = π R²H

Ответ: 72 π см ³

(В-85 №7) Полукруг свернут в виде боковой поверхности конуса. Радиус основания конуса 5см. Найдите объём конуса.

№ 23

К задаче № 23

S

L

R

А

В

О

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 125√3/3 · π см ³

(В-88 №7) Ромб со стороной 5см и углом 60 ° вращается вокруг своей меньшей диагонали. Определите объём тела вращения.

№ 24

К задаче № 24

В

О

С

А

D

V т.вр. = 2 · V кон.

V кон. =1/3· π R²H

Ответ: 31,25 π см ³

№ 25 (В-89 №7)

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна

4 π см ² . Найдите объём шара.

К задаче № 25

V = 4/3· π R³

S сеч. = π R²

О

А

В

Ответ: 32/3 · π см ³

№ 26 (В-91 №7)

Образующая конуса равна 4см, а угол при вершине осевого сечения равен 90 ° . Найдите объём конуса.

К задаче № 26

В

V кон. =1/3· π R²H

90 °

С

А

О

Ответ: 16√2/3 · π см ³

№ 27 (в-96 №7)

Радиус основания цилиндра равен 4см, высота в два раза больше длины окружности основания. Найдите объём цилиндра.

К задаче № 27

О1

V цил. = π R²H

В

Сосн. = 2 π R

О

А

Ответ: 256 π ² см ³

Дополнительные задачи

на вычисление объёмов многогранников

№ 1

(В-23 №7) Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые рёбра равны 13см. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 192 см ³

(В-56 №7) Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 136 см ² , стороны основания 4см и 6см. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.

№ 2

К задаче № 2

В1

С1

D 1

А1

в

С

4

А

D

6

S п.п. = 136см ²

Ответ: 105,6 см ³

(В-95 №7) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 ° . Найдите объём пирамиды.

№ 3

Ответ: 256√2/3 см ³

(В-24 №7) Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6см и 8см. Высота пирамиды опущена в точку пересечения его диагоналей. Меньшие боковые рёбра пирамиды равны 5см. Найдите объем пирамиды .

№ 4

Ответ: 32 см ³

Используемые ресурсы

• Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни – М.: Просвещение, 2013
• Г.В. Дорофеев. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы 11 класс. – М., Дрофа, 2002

Цилиндр:

Конус:

http://cummins-vrn.ru/labraries/image/aHR0cDovLzkwMGlnci5uZXQvZGF0YXMvZ2VvbWV0cmlqYS9WcGlzYW5ueWotdWdvbC8wMDIyLTAyMi1SZXNoZW5pZS5qcGc

http://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf2-62.png

http://belmathematics.by.swtest.ru/images/teorija/cilindr.jpg

http://belmathematics.by.swtest.ru/images/teorija/konys.jpg

http://terka.su/wp-content/uploads/2015/1/terka-konus-gc-ca01_1.gif

Используемые ресурсы

Усеченный конус:

Сфера (шар):

http://dic.academic.ru/pictures/es/285211.jpg

http://player.myshared.ru/587947/data/images/img11.jpg

http://board.salle.com.ua/i/2016/20168/645278_2014011124.jpg

http://izlov.ru/tw_files2/urls_1/3/d-2906/2906_html_773423cd.png

http://superwave.ru/files/polygraphy/small/271_articules200x160c3.jpg