Взаимно обратные функции

Взаимно обратные функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнём с линейных взаимно обратных функций.

1. Найти функцию, обратную для .

Эта функция линейная, её графиком является прямая. Значит, функция монотонна на всей области определения. Поэтому, искать обратную ей функцию будем на всей области определения.

.

Выразим x через y (другими словами, решим уравнение относительно x).

- это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом, и - взаимно обратные функции.

Приведём графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой (биссектрисы первой и третьей четверти). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдёт ниже.

1. Найти функцию, обратную .

Эта функция квадратная, графиком является парабола с вершиной в точке .

.

Функция возрастает при и убывает при . Значит, искать обратную функцию для заданной можно на одном из двух промежутков.

Пусть , тогда , и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию на заданном промежутке: .

Проиллюстрируем это на графике.

1. Найти функцию, обратную .

Эта функция кубическая, графиком является кубическая парабола с вершиной в точке .

.

Функция возрастает при . Значит, искать обратную функцию для заданной можно на всей области определения.

, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию .

Проиллюстрируем это на графике.

Перечислим свойства взаимно обратных функций и .

• и .

• Из первого свойства видно, что область определения функции совпадает с областью значений функции и наоборот.

• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

• Если возрастает, то и возрастает, если убывает, то и убывает.

1. Для заданной функции найдите обратную функцию:

2. Для заданной функции найдите обратную и постройте графики заданной и обратной функции:

3. Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функции:

4. Найдите область определения и область значений функции , обратной для функции , если:

1. Найдите область значений каждой из взаимно обратных функций и , если указаны их области определения:

1. Являются ли функции взаимно обратными, если:

1. Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одной системе координат графики этих взаимно обратных функций:

2. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе:

3. Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:

1. Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:

2. Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков. Если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте её аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график.

1. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:

1. на ; на на ;

2. на ; на на ;

3. на ; на на ;

4. на ; на на ;

1. Даны взаимно обратные функции и .

1. . Решите уравнения:

2. . Решите уравнения:

3. . Решите уравнения:

4. . Решите уравнения:

1. Постройте график функции и определите, существует ли для неё обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте её аналитически.

2. Дана функция , график которой изображён на рисунке. Постройте график обратной функции и найдите области определения и области значений обоих функций.

2