Целое уравнение и его корни. Решение целых уравнений.

Учитель: Артемова Е.В.

Школа: МБОУ СОШ р. П. Тамала

Предмет: математика.

Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. – алгебра, 2ч. – геометрия)

Класс: 9

Тема: Целое уравнение и его корни. Решение целых уравнений.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

образовательная: закрепить, систематизировать знания, умения и навыки решения целых уравнений аналитическим и графическим способами; актуализировать опорные знания решения квадратных уравнений и уравнений высших степеней, построения графиков функций.

развивающая: развитие личности учащегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

1.Оргмомент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ГИА и ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ГИА и ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ГИА и ЕГЭ.

Эпигаф:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(поэт Р.Сеф).

Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений.

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения целых уравнений.

На них мы и заострим наше внимание.

2.Актуализация знаний.

На дом вам было дано задание повторить тему уравнения и способы их решения.

• Что называется уравнением? ( Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной)

• Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.)

• Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет.)

• Посмотрите на уравнения, найдите здесь «лишние». Почему вы так считаете? (л,е –дробно-рациональные)

Я вам предлагаю решить несколько уравнений устно:

• а) x² = 0 е)

• б) 3x – 6 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0

• в) x² – 9 = 0 з) x⁴ – x² = 0

• г) x² = 1/36 и) x² – 0,01 = 0,03

• д) x² = – 25 к) 19 – c² = 10

• л) м) x³ – 25x = 0

Скажите, что объединяет все уравнения, кроме л и е? (одна переменная, целые уравнения и т.д.)

• Что называется целым уравнением с одной переменной? (Уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми выражениями)

• Что называется степенью целого уравнения? (Степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида)

• Учитель: Ребята в начале урока мы с вами решали устно уравнения. Давайте вновь вернёмся к ним и укажем степени этих уравнений. А степенью целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида. А что называется степенью многочлена?...

• Ученики: Наибольший показатель степени переменной входящей в уравнение называется степенью уравнения.

• Учитель: Ребята, а какова степень знакомых нам уравнений?.

• Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой, п-ой степени. На этот вопрос мы ответим немного позже?(если затрудняются пока не говорить, не более 2, 3, 4, п )

• Какие виды целых уравнений вам знакомы?

1. Закрепление. Работа по учебнику. Откройте учебник и найдите № 267 (а, б, в). Посмотрите на данные уравнения! Чем они отличаются?.... Как вы думаете, с чего можно начать решение каждого из этих уравнений?... Запишите в тетрадь решение уравнений: ребята, сидящие на 1 ряду, (1 вариант) – под буквой «а», на втором ряду ( 2 вариант) – под буквой «б», и ребята, сидящие на 3 ряду, ( 3 вариант) – под буквой «в».

• Учитель: Кто справился с заданием? Кто решил своё уравнение, приступайте к решению любого из оставшихся уравнения. А для тех, у кого возникли вопросы, воспроизведём решение на доске. (На доске записывается с комментированием решение примеров учащимися, которые быстрее всех справились с заданием).

а)(6 – х)(х+6) – (х–11)х=36, б) – = 0, в) 9х² – =1,

36 – х² – х² + 11х – 36=0, = 0, 36х²–(36х² –33х+96–88)– 4=0

– 2х² + 11х = 0, т.к. 55 ≠ 0, 36х²–36х² +33х–96х+88 – 4=0

х (11 – 2х) = 0, 5 – 15у -33 + 11у = 0, – 63х = – 84,

х₁ = 0 и 2х₂ = 11, -4у = 28, х= = 1

х₂ = 5,5 у = –7

Ответ: 0; 5,5 Ответ: – 7 Ответ: 1 .

Учитель: Уравнения бывают 1, 2, 3, 4, и более высоких степеней. Мы с вами большей частью решаем уравнение I, II и иногда III степени. Давайте решим уравнение I степени и узнаем, сколько оно может иметь корней. (На слайде): 2x-5=10, 0·х = 7

Учитель: Сделайте вывод… Сколько корней может иметь уравнение I степени?

Ученики: Не более одного.

Учитель: Рассмотрим уравнения на следующем слайде . Запишите в тетрадях решение: 1 ряд – 1 вариант, 2 ряд – 2 вариант, 3 ряд – 3 вариант. ….

(На слайде)

Учитель: Сколько корней может иметь уравнение II степени?

Ученики: Не более двух.

Учитель: Выясните, сколько корней может иметь уравнение III степени?

1 ряд – 1 вариант, 2 ряд – 2 вариант, 3 ряд – 3 вариант

(На слайде)

• А теперь сделаем вывод: сколько корней может иметь уравнение III степени?

• Ученики: Не более трёх.

• Учитель: Существуют также и уравнения более высоких степеней. Это уравнения 4 степени, 5 степени. А сколько они могут иметь корней? Для решения уравнений 4, 5 и более степеней существуют специальные методы. Сегодня мы решали уравнения аналитическим способом, но существует не только этот способ. Прежде чем с ним познакомится, вспомним известные нам функции и их графики. Из списка функций, приведенного на доске, выберите функцию, соответствующую данному графику. Запишите в тетради данные соответствия.

Поменялись тетрадями и сверили с правильными ответами на слайде.

А теперь рассмотрим решение уравнения x³+x-4=0. А сколько корней оно может иметь?

(Ученики отвечают):

Запишем это уравнение в виде x³=-x+4. А теперь рассмотрим функции y=x³ и y=-x+4. Что является графиками данных функций?

Ученики: Кубическая парабола и прямая.

У

Ученики: называют: 1,3