Квадратные уравнения

 Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂= ; ах² + с = 0 имеет два корня:   , если с : а 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида 

• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.

• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида  , где   — переменная,   и   — некоторые числа.

Если   то уравнение   называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений 

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения   не являются уравнениями первой степени.

Числа   и   называют коэффициентами уравнения первой степени  .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения     (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид 

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида   где   — переменная,   — некоторые числа, причем 

Числа   и   называют коэффициентами квадратного уравнения. Число   называют первым или старшим коэффициентом, число   — вторым коэффициентом, число   — свободным членом.

Например, квадратное уравнение   имеет следующие коэффициенты: 

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например,   — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении   старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения   на число   получим приведенное квадратное уравнение 

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов   или   равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При   имеем: 

2. При   и   имеем: 

3. При   и   имеем: 

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку   то уравнение   имеет единственный корень 

2. Уравнение   представим в виде   Это уравнение имеет два корня   и   один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени   Отсюда   и 

3. Уравнение   представим в виде   Поскольку   то возможны два случая:   или   Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня:   и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

При   имеем:   Отсюда 

или   Но корень   не удовлетворяет условию 

При   имеем:   Отсюда   Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты   и   уравнения первой степени   можно найти его корень по формуле 

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам   и   квадратного уравнения   находить его корни.

Имеем:

 (1)

Поскольку   то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена: 

 (2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения   Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения   и обозначают буквой   то есть   Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

 (3)

Возможны три случая: 

1. Если   то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении   выражение   принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если   то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если   то уравнение (3) принимает вид

Отсюда 

Вывод: если   то квадратное уравнение имеет один корень 

3. Если   то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда   или   Тогда   или 

Вывод: если   то квадратное уравнение имеет два корня   и 

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения 

Полученную формулу можно применять и в случае, когда   Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

• найти дискриминант   квадратного уравнения;

• если   то в ответе записать, что корней нет;

• если   то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде   то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение   Найдем его дискриминант:   Обозначим выражение   через 

Если   то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

 где 

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения 

Дискриминант уравнения

Следовательно, 

Ответ: 

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3) 

Уравнение имеет два корня: 

Ответ можно записать одним из двух способов: 

 или 

4)   Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде   и применим формулу корней для уравнения вида 

Ответ: 

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем: 

При   получаем уравнение   которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию 

При   получаем уравнение   которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию 

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку   при   то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно:   и   В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе 

Уравнение   имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию 

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе   Отсюда

Ответ: 

Пример:

При каком значении   имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ:   или 

2) При   получаем линейное уравнение   имеющее один корень.

При   данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем:   отсюда   или 

Ответ:   или   или 

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если   и   — корни квадратного уравнения   то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант   не может быть отрицательным.

Пусть   Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем: 

Пусть   В этом случае считают, что   Имеем:

Следствие. Если   и   — корни приведенного квадратного уравнения   то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа   и   таковы, что   и   то эти числа являются корнями квадратного уравнения 

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение   Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:   (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо   сначала число   а затем число   Получим:

Таким образом, числа   и   являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения 

Следствие. Если числа   и   таковы, что   и   то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения 

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения 

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем:   Следовательно, уравнение имеет два корня   и 

Тогда по теореме Виета 

Пример:

Найдите коэффициенты   и   уравнения   если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета 

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и  ; 2)   и  .

Решение:

1) Пусть   и 

Тогда   По теореме, обратной теореме Виета, числа   и   являются корнями уравнения   Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть   и 

Тогда 

Следовательно,   и   являются корнями уравнения   Отсюда искомым является уравнение 

Пример:

Известно, что   и   — корни уравнения 

 Не решая уравнения, найдите значение выражения 

Решение:

По теореме Виета 

Тогда имеем: 

Ответ: 

Пример:

Число 4 является корнем уравнения   Найдите второй корень уравнения и значение 

Решение:

Пусть   и   — корни данного уравнения, причем   По теореме Виета   Тогда   Имеем:

Ответ: 

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения 

Решение:

Пусть   и   — корни данного уравнения,   и   — корни искомого уравнения.

По условию 

По теореме Виета 

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение 

Ответ: 

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида  где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем 

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения   является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена 

Чтобы найти корни квадратного трехчлена   надо решить соответствующее квадратное уравнение 

Значение выражения   называют дискриминантом квадратного трехчлена 

Если   то квадратный трехчлен корней не имеет. Если   то квадратный трехчлен имеет один корень, если   — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен   Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен   разложили на линейные множители   и 

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена   положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где   и   — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа   и   являются корнями квадратного уравнения   то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть   В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен   можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа   и   при которых выполняется равенство   Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно, 

2) Решим уравнение   Имеем:

Следовательно, 

3) Решим уравнение   Имеем:

 Тогда 

Пример:

Сократите дробь 

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение   получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ: 

Пример:

При каком значении   разложение на множители трехчлена  содержит множитель 

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель   то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ: 

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение 

Решение.

Пусть   Тогда   Подставив в исходное уравнение вместо   и   соответственно   и  , получим квадратное уравнение с переменной 

Решая это уравнение, находим: 

Поскольку   то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда 

Ответ можно записать двумя способами:   или 

Определение: Уравнение вида   где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем   называют биквадратным уравнением.

Заменой   биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению   Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Выполним замену   Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда 

Теперь надо решить следующие два уравнения:

 и   Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

 или 

Отсюда 

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Пусть   Тогда   Получаем: 

Отсюда 

Получаем два уравнения:

Поскольку   то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Данное уравнение равносильно системе 

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Имеем: 

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Пусть   Тогда   Получаем уравнение   Это уравнение равносильно системе

Отсюда 

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть   Тогда 

Отсюда 

Следовательно,   или 

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ: 

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на  перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда 

Произведем замену:   Тогда   Получаем уравнение   откуда 

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: 

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

Пусть   Тогда 

Отсюда 

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда 

Следовательно,   или 

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: 

Пример:

Решите уравнение 

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на   Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена   приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ: 

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида   (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При   такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при   и   — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда   и   является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида 

 где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем   Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида   где   и   — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта   выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта  . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна   км/ч, тогда скорость грузовика составляет   км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за   ч, а грузовик — за   ч. Разность   показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на   ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение 

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим   или 

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за   ч, тогда второй для этого нужно   ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует   часть дороги, а вторая   часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала   дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно   дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение 

Полученное уравнение имеет два корня:   и   (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал   г соли. Тогда его масса была равна   г, а концентрация соли составляла 

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса 

в растворе составила   г, а масса раствора   г. Теперь концентрация соли составляет   что на 5 %, то есть на   больше, чем   Отсюда можно записать: 

Полученное уравнение имеет два корня:   и   (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида   где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем   называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида   где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем   называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов   или   равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида   где   его дискриминант   — это значение выражения 

Решение квадратного уравнения

Если   то квадратное уравнение корней не имеет.

Если   то квадратное уравнение имеет один корень 

Если   то квадратное уравнение имеет два корня   и  :

Теорема Виета:

Если   и   — корни квадратного уравнения 

то 

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа   и   таковы, что   и  то эти числа являются корнями квадратного уравнения 

Квадратный трехчлен

Многочлен вида   где   — переменная,   и  — некоторые числа, причем   называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена   положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:   — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида   где   — переменная,   и   — некоторые числа, причем   называют биквадратным уравнением.

-----

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;

• применять квадратные уравнения для решения задач;

• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;

• применять формулы площадей при решении задач;

• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль - Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида   при   называется квадратным уравнением. Здесь   - постоянные,   - неизвестная.   - первый коэффициент,   - второй коэффициент,   - свободный член.

Например, в уравнении 

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на  , то получим уравнение   Здесь, обозначив   можно записать

 Уравнение вида   называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение   на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов  или   равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения,     являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида   Разделив обе части уравнения на число  получим уравнение   Его корнями является 

Пример 1. Разделим обе части уравнения 

2) Решение уравнений вида   Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку:  Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е.   или   Отсюда следует, что уравнение  имеет два корня, один из которых всегда равен 

Пример 2. Для решения уравнении   надо левую часть уравнения разложить на множители: 

3) Решение уравнений вида 

Запишем уравнение   в виде 

Если   имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если   имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня 

Пример 3. Решим уравнение 

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения   методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения   на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно   а сумма  . Если   являются целыми числами, то   и   - также целые числа. В этом случае, если   то заданной уравнение можно записать в виде : 

Пример 1.   В уравнении   Так как   и  положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма - равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что   то уравнение можно записать в виде  Отсюда находим 

Пример 2.   Так как в уравнении   отрицательное число, а   положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что    то уравнение можно записать так   Отсюда находим 

Пример 3.   

Корни уравнения 

Пример 4.   

Корни уравнения 

Решение уравнения вида   методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения   на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно   а сумма   Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде 

Пример 1. Запишем уравнение   в виде 

Числа   и   такие , что 

Тогда   

Пример 2. Решим уравнение   В нём   тогда   а значит оба числа   и   отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене   Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию   не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах   его надо дополнить членом 

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных  Пример 1. Запишем уравнение   в виде   С обеих сторон дополним данное уравнение   

Пример 2. Для решения уравнения   методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде   Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение   в виде   Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы   и прямой   При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой   составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного: 

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения   можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на   которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций   построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение   записанного в виде  найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения   методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При   эта формула является формулой корней квадратного уравнения 

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять   то ее можно записать как 

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака   называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если   то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если   то уравнение имеет два равных корня. 

3) Если   то уравнение имеет два различных корня: 

Пример:

В уравнении   Тогда   а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня. 

В уравнении   дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения   При   для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы 

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е.  ), то уравнение   можно записать в виде  Тогда   Обозначим  тогда 

Пример:

Решим уравнение 

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение:   По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем   т.е. 

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при   На самом деле, из уравнения   с другой стороны   Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену 

Доказательство: Известно, что   корни приведённого квадратного уравнения   Отсюда получим: 

Таким образом, для уравнения   Если обе части любого квадратного уравнения   разделить на  , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение   Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней   равна   а произведение равно   Теорема Виета остаётся в силе, если   (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения   методом подбора. По теореме Виета 

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел   равна   а произведение равно   то эти числа являются корнями уравнения 

Эту теорему можно записать так: любые числа   являются корнями уравнения 

Доказательство. На самом деле, если принять, что   то получим:   т.е. число   действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число  также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа   и   являются его корнями. Так как     то уравнение будет выглядеть как 

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап - составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через   тогда длина другого катета будет   а гипотенуза будет равна 

2 этап - решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение 

3 этап - решение уравнения. Преобразуем уравнение   Отсюда 

4 этап - анализ результата.

Решению задачи соответствует корень   т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет   а длина гипотенузы   Периметр:   Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна   Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть   м- ширина участка, тогда ее длина -   м. По условию задачи площадь участка равна   Тогда   Получаем уравнение: 

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида   где   —переменная,   — некоторые числа, причем 

Например, уравнения   также являются квадратными.

Числа   называют коэффициентами квадратного уравнения, число   - первым коэффициентом, число   - вторым коэффициентом, число   - свободным членом.

В уравнении   коэффициенты следующие:   В уравнении   следующие:   а в уравнении   следующие: 

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение   - приведенное, а уравнение   - не является приведенным.

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов   или   равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором   является уравнение   в котором   -уравнение   в котором   - уравнение 

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида 

Так как   имеем уравнение   корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 

2.Уравнение вида 

Имеем   то есть   Так как   Если   то уравнение имеет два корня:   

Если   то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ.   2) корней нет.

3. Уравнение вида 

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение   где 

Значит, уравнение имеет два корня: 

Пример №258

Решите уравнение 

Решение:

Имеем: 

Таким образом, 

Ответ. 

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы: 

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение   где   и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на   (так как 

Далее прибавим к обеим частям уравнения 

Так как   получим:

Выражение   называют дискриминантом квадратного уравнения 

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой 

Учитывая, что   запишем уравнение в виде:

 и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения 

(при делении на   учли, что 

Следовательно, если   то уравнение   имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2)  Тогда имеем уравнение 

 откуда 

Таким образом, если   то уравнение   имеет один корень:  Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что   Поэтому можно считать, что уравнение   при   имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен 

3)   В этом случае уравнение   не имеет корней, так как не существует такого значения   при котором значение выражения   было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы: 

Пример №259

Решите уравнение: 

Решение:

Ответ: 

Пример №260

Решите уравнение 

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на   чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение: 

 тогда 

Так как   то

Ответ. 

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида   вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида     (для положительных   и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения   являются числа 

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни   сумму его корней   произведение его корней 

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так: 

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней - свободному члену.

Доказательство: Пусть   - корни приведенного квадратного уравнения   дискриминант которого   Если   то уравнение имеет два корня:

Если   то уравнение   имеет два одинаковых корня: 

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно,   Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета - в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если   и   — корни приведенного квадратного уравнения 

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения 

Так как   разделим обе части уравнения на   Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета: 

Если   — корни неприведенного квадратного уравнения   то

Пример №261

Не решая уравнения   найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют:   Очевидно, что   следовательно, уравнение имеет два корня 

По теореме Виета: 

Ответ. 

Если в уравнении   коэффициент   является целым числом, то из равенства   следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа 

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения 

Решение:

Пусть   - корни данного уравнения. Тогда   Если   - целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом, 

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения   равен 3. Найдите коэффициент   и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть  - один из корней уравнения   - второй его корень. По теореме Виета:   Учитывая, что   имеем:

Ответ. 

Пример №264

Пусть   - корни уравнения   Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1) 

Ответ. 

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа   и   таковы, что   то эти числа являются корнями уравнения 

Доказательство: По условию   Поэтому уравнение   можно записать так: 

Проверим, является ли число   корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной   число   Получим:

Следовательно,   - корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной   число   Получим:

 то есть   - также корень этого уравнения.

Таким образом,   корни уравнения   что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид   По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом,   - искомое уравнение.

Ответ, 

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно   тогда большее равно   По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим:   откуда   По условию задачи   Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе 

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре   рядов, тогда мест в каждом ряду   Всего мест в зале 

Имеем уравнение: 

Перепишем уравнение в виде   откуда 

По смыслу задачи значение   должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только   Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника   вершин. Из каждой его вершины выходит   диагонали. Тогда из всех   его вершин выходит   диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет 

Получим уравнение:   то есть   откуда  Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью   Высота   (в м), на которой через   с будет тело, вычисляется по формуле   В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию:  , следовательно, после упрощения имеем уравнение:   решив которое, найдем корни: 

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз - при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью   Через час из того же лагеря со скоростью   отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км? 

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км:   (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через   часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет   км, а вторая -   км,   Всего первая группа преодолеет расстояние 

Из   по теореме Пифагора   тогда имеем уравнение:   откуда 

Учитывая, что   получим 

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики - науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку - прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками - математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова - выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения   являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида   переменная,   - числа, причем 

Например, выражение   является квадратным трехчленом, у которого 

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен   Если   то его значение равно нулю. Действительно,   В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена   нужно решить уравнение 

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена 

Решение:

Решим уравнение   Получим:   Следовательно,   корни квадратного трехчлена 

Ответ. 

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения   который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена 

Если   то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если   то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если  то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если   корни квадратного трехчлена   то справедливо равенство

Доказательство: Если   - корни квадратного уравнения   (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом,   что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена   - числа -1 и 2,5. Поэтому   Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен   Получим: 

2) Квадратное уравнение   не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен   на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение   имеет два одинаковых корня   Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь 

Решение:

Числа 1 и -0,5 - корни квадратного трехчлена   Поэтому   Имеем:

Ответ. 

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом   бывает удобно представить его в виде   - некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена   квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2: 

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел  преобразуем выражение в скобках, считая, что   Тогда   откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть   поэтому добавим и вычтем 

Ответ. 

Пример №276

Дан квадратный трехчлен   При каком значении   он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение   при любом значении   принимает не положительное значение, то есть   причем это выражение равно нулю только при   Поэтому при   значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен   принимает наибольшее значение, равное 16, при 

Ответ. 16 при 

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей - выражение   учитывая ОДЗ:   Получим: 

откуда 

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение 

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель   за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение   имеет три корня: 

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида   где   называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив   Тогда   а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение 

Решение:

Сделаем замену   получим уравнение   корнями которого являются числа 

Вернемся к переменной 

Таким образом, корни исходного уравнения - числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение 

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие   одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой   Получим уравнение   которое является квадратным относительно переменной   Перепишем его в виде   откуда 

Возвращаемся к переменной 

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа 

Ответ. 

Пример №281

Решите уравнение 

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную   в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену   Получим уравнение с переменной 

Найдем его корни: 

Вернемся к переменной 

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: 

Ответ. 

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на   больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля   Систематизируем условие задачи в виде таблицы: 

Так как значение величины   на 1 ч меньше значения величины   то можем составить уравнение:

У него два корня:   Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70   Тогда скорость легкового автомобиля: 

Ответ. 

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно   ч, тогда ученику   ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда - это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит   — часть задания, а ученик   часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил   часть задания, а ученик   Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда 

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик - за 

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы: 

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским...»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году - членом Туринской академии, в 1853 - членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета - широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа   на число   можно записать в виде обычной дроби   где   числитель дроби,   - ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

 (сократили дробь   на 5);

 (привели дробь   к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй - знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль - само это число, а модуль отрицательного - противоположное ему число:

Примеры:

 Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак 

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения   так как 

2) Число -2 не является корнем уравнения   так как 

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения   равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения   не являются равносильными, так как корень первого - число 1, а второго - число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида   где   числа,   переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

 Раскроем скобки:   Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные - в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные:   приведем подобные слагаемые:   решим полученное линейное уравнение: 

Ответ. 

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей - число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа   с натуральным показателем   называют произведение   множителей, каждый из которых равен   Степенью числа   с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения - числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например   - одночлены; выражения   Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например,   - одночлен стандартного вида, а одночлен   не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен   не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную   в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную   - зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида   независимая переменная,   -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции 

Составим таблицу для любых двух значений аргумента: 

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20). 

Пример:

Построим график функции   Любому значению   соответствует одно и то же значение   равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами  - любое число. Обозначим две любые такие точки, например   и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

 система уравнений с двумя неизвестными 

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел   является решением данной выше системы, поскольку 

Пара чисел   не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство   а второе - нет 

Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений   

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений