Тема Урока :Производная: механический и геометрический смысл производной.
Конспект урока .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / .
При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 .
Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t0) = x /(t0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v /( t ).
Пример.Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.
Решение:v( t ) = s /( t ) = 6t2 – t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Уравнение касательной. y = f ( x0) + f/( x0) · ( x – x0) .
2)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с
Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.
Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Просмотр содержимого документа
«Тема Урока :Производная: механический и геометрический смысл производной.»
Тема Урока :Производная: механический и геометрический смысл производной.
Конспект урока .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = / .
При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 .
Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t0) = x /(t0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v /( t ).
Пример.Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.
Решение:v( t ) = s /( t ) = 6t2 – t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Уравнение касательной. y = f ( x0) + f/( x0) · ( x – x0) .
2)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с