Контроль знаний по теме "Производная"

Понятие производной. Ее геометрический и механический смысл.

14

у =х²

у =3х

у =

у =

у =cos x

у ^/ =0

у ^/ =2x

у ^/ =sinx

у ^/ =

у ^/ =3

М

Ф

А

Р

Е

у = cos x +x

у ^/ = sin x +1

у = 2x² - 1

у ^/ = 4x

у = - tg x

у ^/ = - - ctg x

у = 6 sin x - ln x

у ^/ = 6 cos x -

І вариант

1. Дать определение приращения функции.

2. Какую кривую можно считать гладкой ?

3. Запишите уравнение прямой и покажите в нем угловой коэффициент.

4. Дайте опреденление касательной к графику функции.

5. Запишите математическими символами определение производной.

6. Запишите производные следующих функций:

1) у= sin x

2) y=

3) y=

4) y=х⁷

5) y= х

7. Запишите правило дифференцирования произведения двух функций (u ^. v )^/

1. Дать определение приращения аргумента.

2. Нарисуйте пример гладкой кривой.

3. Запишите математическими символами выражение: отношение приращения функции к приращению аргумента.

4. Сформулируйте определение производной функції.

5. Какая функция называется дифференцируемой ?

6. Запишите производные следующих функций:

1) у= хⁿ

2) у= tg x

3) у= х

4) у= 5

5) у= х^-4

7. Запишите правило дифференцирования частного двух функций

Найдите производные заданных функций

А) у = х³ + х² + х +1

у ^/ = (1/3 х³ + ½ х² + х +1)^/ = (1/3 х³)^/ + +(1/2 х²)^/ +(x)^/ + (1)^/

Функция представляет собой многочлен, значит ее производную находять по правилу:

(u + v )^/ = u ^/ + v ^/

у ^/ = 1/3 ^.3х² + ½ ^. 2х +1 + 0

Найдите производные для каждого слагаемого, используя также правило (С ^. u )^/ = С^. u ^/

у ^/ = х² +x+ 1

Упростите выражение.

Б) у = sin x ^. cos x

у ^/ = (sin x )^/. cos x + sin x ^. (cos x)^/

Функция представляет собой произведение двух функций, поэтому ее производную находим по правилу

(u ^. v )^/ = u ^{/ .} v + u ^. v ^/

у ^/ = cosx ^. cos x + sin x ^. (- sin x)

Согласно таблице производных

(sin x )^/ = cos x ; (cos x)^/ = - sin x. Подставим производные в выражение.

у ^/ = cos² x - sin ²x = cos 2x

Упростим выражение и используем формулу тригонометрии

cos² α - sin ² α = cos 2α

В) у =

у ^/ =

Функция представляет собой частное двух функций, поэтому производную находим по правилу

=

у ^/ =

Для функций у=2х+1 і у=х-2 найдем производные и подставим их в выражение.

у ^/ = =

Раскроем скобки в числителе, приведем подобные слагаемые.

Вариант І

Вариант ІІ

1. Найти значения производных в точке х₀ :

а) у = 4х² – 2х +3, х₀ = 1;

б) у = х⁴ tg x , х₀ = π;

в) у = , х₀ = -2.

1. Найти значения производных в точке х₀ :

а) у = 1/4 x⁴ – 1/2 х² , х₀ = -1;

б) у = х² cos x , х₀ = π / 2;

в) у = , х₀ = -3.

2. Материальная точка движется по закону S(t) = х² + 5х +1. Найдите ее скорость в момент времени t=2с.

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

у = х² + 3 в точке с абсциссой

х₀ = 1 / 2.

1) у = (5х+6)¹⁷

2) у = аrсsin х

3) у = +1

4) у = 2 соs³ х

5) у = 3

6) у = х^{2 .} (х+1)

7) у=

8) у= sin 2х

9) у= х

А

Вычислить значение производной в точке х₀ : у ^/(х₀)

Р

Подставить значения у(х₀) и у ^/(х₀) в уравнение касательной

Л

Найти производную функции : у ^/(х)

Г

Вычислить значение функции в точке х₀ : у (х₀)

А

Раскрыть скобки

Ж

Записать ответ в виде уравнения прямой у=kx+b

Н

Привести подобные слагаемые

№

Код

Начало утверждения

Конец утверждения

Шифр

1.

Понятие производной в математике вводится через такие понятия как …

… разность между конечным значением х и начальным х_о.

Й

2.

Прямую, которая практически совпадает с графиком функции y=f(x) в некоторой окрестности точки х_о, , называют …

… мгновенная скорость материальной точки, вычисляемая как производная от пути.

Ц

3.

Приращение аргумента это …

… сумме производных этих функций.

И

4.

Приращение функции показывает …

… границы функции, приращение аргумента, приращение функции и каксательной к графику функции.

Л

5.

Вычисление производной функции y=f(x) называют …

… на сколько изменилось значение функции в сравнении с предыдущим.

Б

6.

Производная суммы двух функций равна …

… операцией дифференцирования.

Н

7.

Механический смысл производной – это …

… касательной к графику функции y=f(x) в точке х_о .

Е

І вариант

ІІ вариант

ІІІ вариант

1. Найдите производную функции у=4cosx.

1. 4sinx;

2. -4sinx;

3. sinx;

4. –sinx.

1. Найдите производную функции у(х)=2х²-6х.

1. 2х-6;

2. 4х²-6х;

3. 4х-6;

4. -2х.

1. Вычислите у ^/(2), если у(х)=е^х + х.

1. е² + 2;

2. е²;

3. е² + 1;

4. е + 2.

1. Вычислите у ^/(-1), если у(х)= х² + 3х - 1.

1. 2;

2. 1;

3. -3,5;

4. -4.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции у= х² в

точке х_о= -1.

1. у= -1-2х;

2. у= 3-2х;

3. у= -3-2х;

4. у= 2-2х.

1. Сравните

у ^/(2) и у^/(-1), если у(х)= .

1. Найдите производную функции у= ln x.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Найдите производную функции

у(х)=-10 х³ + 2,2х.

1. 3х² + 2,2;

2. -30х² + 2,2;

3. -10 х² + 2,2;

4. -30 х + 2,2.

3. Вычислите у ^/( ), если у= 2 sin x - .

1. 1-π/3;

2. - π/3;

3. -1 - π/3;

4. - - π/3.

4. Вычислите у ^/(-2), если

у(х)= х⁴ -3 х² + 5х - 80.

1) 1; 2) 25; 3) 9; 4) -23.

5. Запишите уравнение касательной к графику функции у= х³ в точке х_о= 1.

1) у= 3х;

2) у= 3х+4;

3) у= 3х – 3;

4) у= 3х-2.

6. Найдите значение производной в точке х=0 функции

у=( х² -3х+2) sin (4х+10π)

1. Найдите производную функции у= tgx.

1) ;

2) - ;

3) - ;

4) .

2. Найдите производную функции

у(х)= 0,5 х⁵ -3х³

1) 2,5х⁴ - 9х²

2) 0,25 х⁴ - 9х²

3) 0,25 х⁴ -3х²

4) 0,5 х⁴ -3х²

3. Вычислите у ^/(4), если у(х)= - 2

1. 15,75;

2. 15,5;

3. 16,5;

4. 7,5.

4. Вычислите у ^/(-0,5), если

у(х)= х³ + 3х² - 12х – 0,4.

1) -8,75; 2) -14,75;

3) 8,75; 4) 14,75.

5. Запишите уравнение касательной к графику функции у= 2х² в точке х_о= -1.

1) у= -2 - 4х;

2) у= 6 - 2х;

3) у= 6 - 4х;

4) у= 2 – 4х.

6. Решите уравнение

у ^/(х)= у (х), если у= х³ .