Свойство параллельных прямых

2/9/20

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые.

Определение.

а

b

Две прямые на плоскости называются

ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ , если они не пересекаются.

2/9/20

Пары углов, образованные

при пересечении прямых

секущей.

с

2

1

3

4

а

6

5

7

8

b

Накрест лежащие углы

Односторонние углы

Соответственные углы

2/9/20

Признак параллельности

двух прямых

по накрест лежащим углам.

с

a ıı b

2

1

а

3

4

b

Если при пересечении двух прямых секущей

НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны,

то прямые параллельны

2/9/20

Признак параллельности

двух прямых

по соответственным углам.

с

a ıı b

2

1

3

4

а

6

5

7

8

b

Если при пересечении двух прямых секущей

СООТВЕТСТВЕННЫЕ углы равны.

то прямые параллельны

2/9/20

Признак параллельности

двух прямых

по односторонним углам.

с

a ıı b

2

1

а

3

4

b

Если при пересечении двух прямых секущей

сумма ОДНОСТОРОННИХ углов равна 180 0 ,

то прямые параллельны

2/9/20

то, что дано требуется

доказать

Теорема

Условие

Заключение

Теорема, обратная данной –такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

2/9/20

Теорема, обратная данной

то, что дано требуется

доказать

Заключение

Условие

2/9/20

Признаки параллельных прямых

СВОЙСТВА

То (заключение)

Если (условие)

прямые параллельны

накрест лежащие углы равны

соответственные углы равны

прямые параллельны

сумма односторонних углов равна 180 градусов

прямые параллельны

получили

2/9/20

9

Сравнительная таблица.

Название теоремы

Признак параллельности прямых

Формули-ровка теоремы

Свойства параллельных прямых

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Условие

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

(дано)

Заключе-ние

a||b

(доказать)

 1=  2

Прямые a, b, c – их секущая,  1,  2 – накрест лежащие углы;  1=  2

Прямые a, b, c – их секущая,  1,  2 – накрест лежащие углы; a||b

2/9/20

Замечание .

Если доказана некоторая теорема, то отсюда еще не следует справедливость обратного утверждения.

Более того, обратное утверждение не всегда верно. Например, « вертикальные углы равны ».

Обратное утверждение: « если углы равны, то они вертикальные» - конечно же, неверно.

2/9/20

Свойства параллельных прямых.

с

2

1

а

3

4

b

Если две параллельные прямые пересечены

секущей, то НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны.

2/9/20

Свойства параллельных прямых.

с

2

1

3

4

а

6

5

7

8

b

Если две параллельные прямые пересечены

секущей, то СООТВЕТСТВЕННЫЕ углы равны.

2/9/20

Свойства параллельных прямых.

с

2

1

а

3

4

b

Если две параллельные прямые пересечены секущей,

то сумма ОДНОСТОРОННИХ углов равна 180 0 .

Свойство параллельных прямых.

Если две параллельные прямые пересечены

секущей, то НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ углы равны.

P

Дано: прямые a ∥ b ,

секущая MN;  1 и  2 – накрест лежащие;

Доказать:  1 =  2;

M

а

1

2

в

N

Доказательство.

• Допустим, что  1 ≠  2;
• Отложим от луча MN ∠PMN =  2, так чтобы ∠PMN и  2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и b секущей MN;

• По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому MP ∥ b.
• Мы получили, что через точку М проходят 2 прямые параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых.
• Значит, наше допущение неверно и  1 =  2

2/9/20

Следствие.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух

параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой .

с

M

Дано: прямые a ∥ b ,

c  a

Доказать: c  b

а

1

2

в

N

2/9/20

Решение задач.

УСТНО

с

4

Дано: прямые a ∥ b ,

 1 = 75 ⁰

Найти:  2,  3, ∠4 .

2

а

3

1

в

2/9/20

Решение задач.

УСТНО

Дано: прямые a ∥ b ,

 1 + ∠2 = 160 ⁰

Найти:  3,  4, ∠5 , ∠6.

с

2

4

а

3

1

5

в

6

2/9/20

Дано: aǁb;

Найти:

c 1 2

3

• Дано: qǁz

t 3

Найти:

Аксиома параллельных прямых.

а

А

b

Через точку, не лежащую на данной прямой,

проходит только одна прямая,

параллельная данной.

2/9/20

Следствие из аксиомы

параллельных прямых.

1 0

a ıı b

с

а

b

Если прямая пересекает одну из двух

параллельных прямых, то она

пересекает и другую.

2/9/20

Следствие из аксиомы

параллельных прямых.

2 0

a ıı b

а

с

b

Если две прямые параллельны третьей прямой,

то они параллельны.

2/9/20