Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 11 класс. Ответы

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 11 класс

Каждое задание оценивается в 5 баллов

1. Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8 поленниц. сколько поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?

2. На острове всех мужчин женаты и всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

3. Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором,

tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 89°.

4. Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

5. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец.

Кто из них есть кто?

Математика, 11 класс

1. 3 поленницы дров. Пусть x – количество поленниц, которые рабочие могут напилить и наколоть в течение дня. Одну поленницу они успевают напилить и наколоть за часть дня.

Тогда , откуда x = = 3.

2. .

3. tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 87° ∙ tg 88° ∙ tg 89° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ tg (90 – 2)° ∙ tg (90 – 1)° =

= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ ctg 2° ∙ ctg 1° = 1.

Использовать тождество tg  ∙ ctg  = 1.

4. 1998.

5. Первый, второй, шестой – лжецы; третий, четвертый – дипломаты; пятый – правдолюб.