Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 8 класс.Ответы

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 8 класс

1. (2б) За весну Обломов похудел на 25%, затем за летоприбавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

2. (3б) Доказать, что разность 9²⁰⁰⁰-7²⁰⁰⁰делится на 10.

3. (4б) Города A и B расположены на реке на расстоянии 10км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от A до B и обратно или проплыть 20 км по озеру.

4. (5б) Четверо ребят --- Алеша, Боря, Ваня и Гриша --- соревновались в беге. На следующий день, на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
             Алеша: Я не был ни первым, ни последним.
             Боря: Я не был последним.
             Ваня: Я был первым.
             Гриша: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов правильные, а один --- неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым?

5. (8б) Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и по 150 кг. Нужно полностью загрузить ими грузовик грузоподъемностью 3 тонны. Можно ли это сделать?

Математика, 8 класс

1. Пусть вес Обломова a кг, которые берем за 100%, тогда в конце весны вес Обломова составляет 75%, т.е. его вес станет 0,75a = y кг. За лето Обломов поправился на 20% и его вес стал 1,2y = p кг. За осень он похудел на 10%, т.е. его весь стал 0,9p = k кг. За зиму его вес увеличился на 20% и стал 1,2k кг. Собираем результаты: 1,2k = 1,2 × 0,9p = 1,2 × 0,9 × 1,2y = 1,2 × 0,9 × 1,2 × 0,75a = 0,972a. В итоге Обломов похудел на 2,8%.

2. Числа слишком большие, чтоб их находить, значит, надо найти их последние цифры. 
   
   Последовательность последних цифр в степенях девятки: 9, 1, 9, 1,...
   
   Последовательность последних цифр в степенях семёрки: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,...
   
   Последняя цифра степени с номером, кратным 4, в обоих случаях равна 1. 
   
   2000 = 4 * 500. Значит, последняя цифра числа 9^2000, как и последняя цифра числа 7^2000, равна 1, и последняя цифра разности этих чисел равна 0, значит, разность делится на 10.

II способ:

1. Пусть Х - скорость катера по озеру (в стоячей воде)

Пусть У - скорость течения реки

Тогда время затраченное катером на переход 20 км по озеру Т1=20/Х Время затраченное на переход из А в Б и обратно можно определить по формуле: Т2 = 10/(Х+У) + 10/(Х-У)

Привели к общему знаменателю получили Т2 = 20Х/(sqr(X)-sqr(У) ) sqr - квадрат числа

Умножим числ. и знам Т1 на Х: Т1 = 20Х/sqr(X)

Сравнивая Т1 и Т2 видим, что Т2 T1, если У 0 (числители одинаковые, знаменатель Т2

Ответ: При движении по реке будет затрачено больше времени, чем при движении по озеру

4) Представим высказывания мальчиков в виде таблицы. В ней отметим ячейки, соответствующие местам, которые могли занять мальчики (с их слов).

Анализируем высказывание Гриши. Если он обманывает и не занимал последнего места, то обманывает еще кто-то, кто действительно был последним. Но тогда обманывают два мальчика, а по условию задачи только один ответ неверный. Значит, Гриша не обманывает и занял последнее место.

Теперь проанализируем высказывание Вани. Если Ваня не обманывает и занял первое место, то Алёша и Боря распределили между собой 2-е и 3-е места. Их высказывания не противоречат этому, но тогда все говорят правду, а по условию задачи должен быть один неверный ответ. Значит, Ваня всё-таки обманывает и первое место занял не он, а Борис.

Ответ: Неправду сказал Ваня. Первым был Боря.

5) Загружаем только МАЛЕНЬКИМИ по 130. 
Делим 3000 на 130 и получаем 23,07. Округляем до 23, получаем 23*130=2990 
Хотелось бы 10 кг добавить до 3000. 
Заполняем по 160 кг. 
Делим 3000 на160 получаем целых 18 контейнеров, которые вмещают 2880 кг. Остается 120 кг. Можно добавить один по 130, но это будет уже 3010 кг. ГАИ не заметит 
Ответ 
18 по 160 и 1 по 130 это будет 3010 ПЕРЕБОР НА 10 КГ или 
23 по 130 это 2990. а здесь НЕДОБОР на 10 кг.