Решение задач по теме: "Метод координат"

Решение задач по теме:

« Метод координат»

Разработал: преподаватель

Университетского колледжа СибГИУ

Ражева Наталья Игоревна

Метод координат  — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. 

Задача 1. Решить треугольник, вершинами которого являются точки А(3; 2; -1), В(-1; 0; 3), C(-2; -1; -1).

Решение

A(3; 2; 1)

B(-1; 0; 3)

C(-2; -3; -1)

Т.е. все стороны треугольника имеют разные длины, значит он является разносторонним

Т.к. значения косинусов всех углов треугольника положительное, то все углы являются острыми, а значит и .

Задача 2. Найти длину медианы АМ треугольника, вершинами которого являются точки А(2; 0; -3), В(1; -1; 0), C(2; 1; 2). Определить ,

Решение

M(x; y; z):

A(2; 0; -3)

B(1; -1; 0)

M(x; y; z)

C(2; 1; 2)

M(1,5; 0; 1)

Задача 3. Найдите точку, расположенные на оси Oz и равноудаленную от точек А(1; -3; -5) и В(-7; 1; 3)

Решение

Пусть точка K(0; 0; z) – точка на оси oz.

Тогда KA=KB

Значит K(0; 0; 1,5)

Задача 4. Даны точки А(0; 2; -1), В(1; 3; -1), C(0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости xOz

Решение

Пусть M(x; 0; z) – точка в плоскости xOz

Тогда MA=MB=MC

Значит, M(3; 0; -0,75)

Задача 5. Найти угол между прямыми MN и CP, если M(2; 0; -2), N(1; -1; 0), C(0; 2; 3), P(-1; 4; 1)

Решение

= -тупой угол между прямыми

или =

Задача 6. Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями x-2y+z-32=0 и 2y+3z-1=0

Решение

Пусть и – направляющие вектора первой и второй плоскости соответственно,

угол между данными плоскостями. Тогда:

Задача 7. Найти расстояние от точки M(3; -5; 8) до плоскости, заданной уравнением 2x-y-z+3.

Решение

расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением